7. Teoрeмa Вариньона о моменте равнодействующей. Уравнения моментов для сходящихся сил.

Пусто система сил не находится в равновесии и может быть приведена к равнодействующей . Добавим к этой системе сил , тогда Эта новая система сил, эквивалентная нулю, удовлетворяет условиям равновесия системы сил и, в частности, условию равенства нулю суммы векторных моментов сил относительно любой точки: Т.к. , то имеем теорему Вариньона Это справедливо и в любых проекциях, например , т.е. для плоской системы сил имеем теорему Вариньона в алгебраических моментах

8. Сложение параллельных сил (направленных в одну и в разные стороны).

Рассматриваем плоский случай параллельных сил тяжести: dx² + dy² – ds² = 0

9. Пара сил. Момент пары. Эквивалентность пар сил. Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости. Условия равновесия системы пар.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.Размерность пары (Hм, kHм)     

Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки

    Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости П не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары

Сложение пар сил в плоскости и в пространстве

Теорема 1. Система нескольких пар сил на плоскости П эквивалентна одной паре, момент которой m равен алгебраической сумме моментов данных пар:

Теорема 2. Две пары сил, действующие на одно и тоже тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил   Если на твердое тело действуют пары сил, как угодно расположенные в пространстве, то эти пары сил можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил, т.е.

Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут:

Пространственная система сил

Если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из равнодействующей и результирующего момента пары. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы (для любой точки О)

Эти условия являются векторными условиями равновесия для любой системы сил. В аналитической форме это эквивалентно R_x=R_y=R_z=0; M_x=M_y=M_z=0, т.е. в самом общем случае имеем шесть скалярных уравнений равновесия.

10. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела. Центр тяжести объема, площади и линии.

Точка C , через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве.

 Эта точка совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц Радиус-вектор центра тяжести тела вычислим по формуле

где     - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку;     - сила тяжести элементарной частицы;   - сила тяжести всего тела.

Если в (10.3) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до бесконечности, то после замены суммы интегралом, получим