28. Плоскопараллельное или плоское движение твердого тела. Уравнения траектории движения плоской фигуры

Рассмотрим плоскопараллельное движение произвольно­го твердого тела. Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости xОy. Пересечем рас­сматриваемое тело плоскостью Q, параллельной неподвижной плоскости хОу (рис. 2.24). В результа­те в сечении получим некоторую фи­гуру S. Из определения плоскопарал­лельного движения твердого тела сле­дует, что плоская фигура S перемеща­ется с данным телом и остается во все время этого движения в плоскости Q. Следовательно, любой отрезок АС, взятый в теле и перпендикулярный к плоскости хОу, будет дви­гаться параллельно своему первоначальному положению, т.е. поступательно. Скорость и ускорение любой из точек отрезка АС будут параллельны плоскости хОу. Но тогда для определения движения всех точек тела, лежащих на отрезке АС, достаточно знать движение одной точки этого отрезка, а за такую точку можно взять точку А плоской фигуры S. Отсюда следует, что для определения плоскопараллельного движения твердого тела необ­ходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно неподвижной плоскости хОу, т.е. достаточно знать движение плоской фигуры S в ее плоскости.

Итак, задание плоскопараллельного движения твердого тела и изучение этого движения сводится к заданию движения одного сечения тела. Поэтому в дальнейшем плоскость Q будем совмещать с плоскостью чертежа, а вместо всего тела изображать только плоскую фигуру - сечение тела 5, и изучать движение точек этого сечения в его плоскости. Строго говоря, рассматривая движение плоской фигуры 5 в ее плоскости, мы рассматриваем движение всей плоскости, неизменно связанной с движущейся фигурой относительно неподвижной плоскости, так что вопрос сводится к рассмотрению движения подвижной плоскости отно­сительно неподвижной. Положение сечения S в его плоскости определяется положением двух точек этого сечения или положе­нием отрезка прямой, соединяющей эти две точки, например, отрезка АВ. Т.е. кинематика плоскопараллельного движения тела сводится к кинематике движения отрезка прямой в плоскости.

Пусть- две точки плоской фигуры, находящейся в плоскости xOy (рис 2.25, а). Расстояние d ме­жду этими точками определяется следующим равенством:

(1)

У равнения (2.3) или (2.4) представляют собою одновременно уравнения траектории точки в параллельном виде. Исключив из уравнений время t , можно получить уравнение траектории в явном виде (координатной форме).Для скорости имеем выражени ,где , , - проекции скорости на оси Ox , Oy , Oz . Модуль скорости и ее направления определяются равенствами     Аналогично для ускорения получаем: , где , , - проекции на оси Ox, Oy, Oz. И тогда

29. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Определение скорости любой точки фигуры при плоском движении

Скорости точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Положение любой точки M, лежащей в сечении S тела, определяется по отношению к осям Oxy радиусом-

вектором , который связан с радиусом-вектором полюса    ,где - радиус-вектор полюса A , - радиус-вектор, определяющий положение точки M относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом поступательно (сечение S по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса A ). Тогда, согласно определения скорости точки: В полученном равенстве - скорость полюса, - скорость точки M, которую она получает при вращении тела вокруг полюса A . Скорость точки M во вращательном движении вокруг полюса будет равна: или ,где - угловая скорость вращения тела. Сформулируем теорему о скоростях при плоскопараллельном движении.

    Теорема. Скорость любой точки M тела при его плоскопараллельном движении геометрически складывается из скорости полюса и скорости точки M в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма