Древо вероятностей

Измерение риска на основе дисперсии базируется на показателях вероятности наступления события по каждому из рассматриваемых сценариев. Однако оценка события и вероятность его наступления со временем меняются, поскольку трансформируются и внутренние факторы, оказывающие влияние на деятельность компании. По прошествии несколько этапов появляются промежуточные результаты. Это позволяет более точно оценивать вероятность наступления последующих событий. Как правило, результат, полученных на первом этапе, оказывает влияние на итоги всех последующих. Словом, существует определенная зависимость между результатами, полученными в разные периоды осуществления проекта.

Понятно, что результат первого периода неизбежно обусловливает ряд возможных вариантов развития событий в следующем периоде. Если же в ходе первого периода будет достигнут другой результат из-за развития событий по иному сценарию, то в дальнейшем появится другое множество вариантов. Для оценки временного фактора, когда меняется математическое ожидание и дисперсия вероятного распределения по мере перехода от одного этапа к другому, строится древо вероятностей (рис. 1).

По оси ординат показывается результирующий показатель проекта, в качестве которого может выступать доходность, денежный поток и т. п. На рисунке в качестве результирующего показателя рассматривается денежный поток: чем он больше, тем эффективнее проект. На рисунке представлены денежные потоки в течение трех периодов. По истечении первого периода могут быть достигнуты два результата: лучший — верхняя ветвь и худший — нижняя ветвь. Каждый из полученных результатов, в свою очередь, дает несколько последующих вариантов, так как при достижении лучшего варианта по итогам 1-го периода развитие будет осуществляться по одному сценарию, а в случае получения худшего результата — по другому. Аналогичная картина наблюдается при завершении 2-го периода и переходе к 3-му периоду.

Рисунок 1

1;2-Исходные вероятности, соответственно – лучшая и худшая; 1.1;2.1-Условные лучшие вероятности; 1.2;2.2-Условно худшие вероятности

В рассматриваемом примере начало 1-го периода не зависит от событий, которые были прежде. Вероятные результаты получаются при завершении первого периода (первые две ветви). Их называют исходными вероятностями. Для всех последующих периодов результаты зависят от развития предыдущих событий. Поэтому вероятности, соответствующие в нашем примере 2-му и 3-му периодам, называют условными. Следовательно, если изучить цепочку исходных и условных вероятностей в их единстве, то получим совместную вероятность развития событий.

Рассмотрим пример расчета чистых денежных потоков по проекту для двух периодов. Первоначальные вложения составили 20 млн. р. в период 0. В результате этих вложений возможны два варианта денежных потоков в 1-м периоде. С вероятностью 0,4 будет получен убыток в 10 млн. р. и с вероятностью 0,6 - положительный денежный поток, равный 15 млн. р.(табл. 4) Отрицательный поток на 1-м периоде в размере 10 млн. р. вызывает во 2-м периоде с вероятностью 0,3 денежный поток, равный 12 млн. р., и с вероятностью 0,7 поток, равный 22 млн. р.. Положительный поток в размере 15 млн. р., в свою очередь, на втором этапе с вероятностью 0,4 вызывает денежный поток в сумме 30 млн. р. и с вероятностью 0,6 - денежный поток, равный 40 млн. р. Таким образом, исходная вероятность в размере 0,4 разделяется на совместные вероятности 0,12 и 0,28, а исходная вероятность 0,6 - на 0,24 и 0,36.

таблица 4

Расчет древа вероятностей

1-й период		2-й период		Совместная вероятность	№ ветви
Исходная вероятность	Чистый денежный поток, млн.р.	Условная вероятность	Чистый денежный поток, млн.р.
0.4 06	-10 15	0.3 0.7 0.4 0.6	12 22 30 40	0.4*0.3=0.12 0.4*0.7=0.28 0.6*0.4=0.24 0.6*0.6=0.36	1.1 1.2 2.1 2.2

На основе построенного древа вероятностей можно рассчитать чистые текущие стоимости денежных потоков по каждой ветви, используя безрисковую ставку дисконтирования по формуле:

NPVi = -Co + C1/(1+r) + C2/(1+r)²+…+ Cn/(1+r)ⁿ

где NPVi — чистая текущая стоимость денежных потоков по ветви i; C0 — начальные инвестиции в период 0; C — чистый денежный поток в соответствующий период; 1... n — число периодов; r — безрисковая ставка дисконтирования.

В представленной формуле Co берется со знаком «-», что свидетельствует об оттоке средств с предприятия в виде произведенных инвестиций. Если в рассматриваемом примере безрисковую ставку принять на уровне 10 %, то для первой ветви чистая текущая стоимость денежных потоков составит:

NPV1= -20+(-10)/(1+0.1)+12/(1+0.1)²= -19.17 млн.р.

Для четвертой ветви денежные потоки представлены поступлениями в размере 15 млн. р. в 1-м периоде и 40 млн. р. во 2-м периоде. Чистая текущая стоимость этих денежных потоков рассчитывается по формуле:

NPV4= -20+15/(1+0.1)+40/(1+0.1)²=26.7 млн.р.

На основе рассчитанных NPV денежных потоков и совместной вероятности для каждой ветви можно определить математическое ожидание чистой текущей стоимости:

где NPV - математическое ожидание (наиболее вероятный результат) чистой текущей стоимости денежных потоков по проекту; NPVi - чистая текущая стоимость денежных потоков по 1-й ветви; рi совместная вероятность для 1-й ветви; i = 1, ... х - число ветвей.

В табл. 5 представлен расчет чистых текущих стоимостей по каждой ветви и математическое ожидание.

Математическое ожидание, рассчитанное как средневзвешенная величина чистых текущих стоимостей по каждой ветви, где в качестве весов выступает совместная вероятность (сумма последнего столбца таблицы), в нашем примере составляет 8.71 млн.р. На основе математического ожидания можно рассчитать дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации для данного проекта.

таблица 5

Расчет математического ожидания чистой текущей стоимости денежных потоков (цифры условные)

№ ветви	Денежные потоки, млн.р.	Чистая текущая стоимость, млн.р., NPV	Совместная вероятность, р	Произведение, NPV*p
1.1 1.2 2.1 2.2	-20; -10; +12 -20; -10; +22 -20; +15; +30 -20; +15; +40	-19.17 -10.91 18.43 26,70	0.12 0.28 0,24 0,36	-2,30 -3,05 4,42 9,64

Компания, обладая определенным запасом финансовых ресурсов, планирует их распределение для осуществления ряда инвестиционных проектов, в результате чего формируется инвестиционный портфель. При управлении портфелем появляется присущий ему комбинированный (совокупный) риск. Методы измерения и оценки риска портфеля несколько отличаются от оценки риска конкретного инвестиционного проекта. Портфельная теория разработана У. Шарпом и получила широкое применение в практике управления инвестициями.

Наиболее распространенной сферой использования портфельной теории являются инвестиции в ценные бумаги. У. Шарп выделил две составляющие риска любого актива: систематический (рыночный) и несистематический (специфический).

Систематический риск обусловлен общеэкономическими факторами. Он присущ рынку в целом и возникает по не зависящим от компании причинам. Данный риск не поддается диверсификации. Поэтому его называют недиверсифицируемым.

Несистематический риск обусловлен специфическими особенностями эмитента, которые можно нейтрализовать путем включения в портфель ценных бумаг различных эмитентов. Поэтому данный вид риска называют диверсифицируемым.

Общий риск включает в себя рыночный и специфический риски. Если специфического риска можно избежать, сформировав хорошо диверсифицируемый портфель, то рыночный риск присутствует всегда. На рис.2 представлена зависимость изменения общего риска от числа ценных бумаг, включенных в портфель. Прямая, параллельная оси абсцисс, покрывает уровень систематического риска, который присутствует всегда и не меняется при увеличении числа ценных бумаг, имеющихся в портфеле.

рисунок 2