Автокорреляционная функция (акф)
Члены
временного ряда не являются статистически
независимыми, поэтому можно говорить
о величине статистической связи между
наблюдениями временного ряда,
сдвинутыми на
временных единиц. Как известно,
степень связи между двумя величинами
может быть охарактеризована парным
коэффициентом корреляции, который
применительно к временным рядам
можно записать как
,
(5.4.1)
так
как по (5.1.2)
.
Выборочную АКФ можно определить как
.
(5.4.2)
В программах STATISTICA и 5.9.1. подсчет производится по формуле:
.
(5.4.3)
В
формулах (5.4.2) и (5.4.3) N
– число
наблюдений, а
.
Для , вычисляемого по (5.4.3), имеет место свойство:
.
(5.4.4)
Пример 5.4.1
Вычислить
значения АКФ для
для
авторегрессии АР(1) с параметром
и начальным членом 1. Количество членов
ряда равно 10. Белый шум во внимание не
принимать.
Решение
Из
условий предполагается процесс
вида
.
Выполним расчеты в Excel
(табл. 5.4.1) Для этого введем в столбец B
наш временной ряд. В ячейку B14
заносится среднее значение
.
В ячейку B15
– дисперсия временного ряда, но так
как дисперсия в Excel
вычисляется исправленная (несмещенная)
, то, чтобы получить знаменатель формулы
(5.4.3), нам ее необходимо умножить на
.
Значение знаменателя помещается в
ячейку B16.
Чтобы
вычислить
,
копируем наш ряд в столбец C,
но при этом сдвигаем наш ряд на 1 ячейку
вверх. Затем вычисляются слагаемые
числителя, так, например, в ячейку D4
записывается формула: =(B4-$B$14)*(C4-$B$14).
Слагаемые числителя для
суммируются в ячейке D14.
Наконец, в D15
записывается
частное от деления чиcлителя
на знаменатель, т.е. получаем
.
Заметим, что при вычислении
количество слагаемых в числителе на 1
меньше, чем в исходном ряде, что
соответствует значению
.
Расчет
осуществляется
с использованием ряда в столбце E
(исходный ряд сдвинут на 2 ячейки вверх),
а
- с использованием ряда в столбце G
(исходный ряд сдвинут на 3 ячейки вверх).
В столбцах I,J,K,L выполнены расчеты и , но сдвиг осуществляется на 1 и 2 ячейки соответственно вниз, а не вверх. Убеждаемся, что в соответствии с (5.4.4) результаты расчетов идентичны.
Таблица 5.4.1. Расчет АКФ
|
А |
B |
С |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
0.8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
0.8 |
|
0.64 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
0.8 |
0.19583 |
0.64 |
0.10724 |
0.512 |
0.03637 |
|
|
|
|
5 |
2 |
0.8 |
0.64 |
0.0685 |
0.512 |
0.02323 |
0.4096 |
-0.01298 |
1 |
0.19583 |
|
|
6 |
3 |
0.64 |
0.512 |
0.01272 |
0.4096 |
-0.0071 |
0.32768 |
-0.02298 |
0.8 |
0.06850 |
1 |
0.10724 |
7 |
4 |
0.512 |
0.4096 |
-0.00241 |
0.32768 |
-0.0078 |
0.26214 |
-0.0121 |
0.64 |
0.01272 |
0.8 |
0.02323 |
8 |
5 |
0.4096 |
0.32768 |
0.00436 |
0.26214 |
0.00676 |
0.20971 |
0.008686 |
0.512 |
-0.0024 |
0.64 |
-0.0071 |
9 |
6 |
0.32768 |
0.26214 |
0.02185 |
0.20972 |
0.02806 |
0.16777 |
0.033044 |
0.4096 |
0.00435 |
0.512 |
-0.0077 |
10 |
7 |
0.26214 |
0.20972 |
0.04357 |
0.16777 |
0.05129 |
0.13421 |
0.057478 |
0.32768 |
0.02184 |
0.4096 |
0.00676 |
11 |
8 |
0.20972 |
0.16777 |
0.0659 |
0.13422 |
0.07384 |
|
|
0.26214 |
0.04357 |
0.32768 |
0.02807 |
12 |
9 |
0.16777 |
0.13422 |
0.08693 |
|
|
|
|
0.20971 |
0.06590 |
0.26214 |
0.0513 |
13 |
10 |
0.13422 |
|
|
|
|
|
|
0.16777 |
0.08693 |
0.20971 |
0.07384 |
14 |
|
0.44631 |
|
0.49726 |
|
0.27554 |
|
0.087519 |
0.13422 |
0.49725 |
|
0.27554 |
15 |
|
0.08376 |
r(1)= |
0.65967 |
r(2)= |
0.36554 |
r(3)= |
0.116103 |
r(1)= |
0.65966 |
r(2)= |
0.36554 |
16 |
|
0.7538 |
|
D15=D14/B16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
B16-знаменатель |
D14=СУММ(D4:D13) |
|
|
|
|
|
|
|||
18 |
|
B14=СРЗНАЧ(B4:B13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19 |
|
B15=ДИСП(B4:B13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
|
B16=B15*9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|