§2.1. Аддитивная и мультипликативная модели

Имеется множество подходов к прогнозированию тренд-сезонных процессов. В [14] уже было рассмотрено использование для этой цели адаптивных моделей и моделей АРПСС, содержащих сезонную компоненту. При прогнозировании с помощью адаптивных моделей нужно были указать вид модели, которую необходимо использовать для прогноза. Выбор этот в ряде случаев не представляет сложностей. Принцип выбора здесь зависит от того, как ведет себя сезонная компонента.

Если динамика ряда характеризуется неизменными во времени сезонными эффектами, то необходимо строить аддитивную модель вида

Y = T + S + E, (2.1.1)

где здесь и далее Y – значения исходного временного ряда;

T – трендовая компонента;

S – сезонная компонента;

E – случайная компонента.

Таким образом, для аддитивной модели вне зависимости от того, какова трендовая составляющая – возрастающая или убывающая, неизменность сезонных эффектов на протяжении всего временного ряда. Иными словами, если после сглаживания временного ряда имеет место приблизительное равенство значений сезонных составляющих для одноименных моментов времени, то это является основанием для моделирования процесса при помощи аддитивной модели. В этом случае все величины в соотношении (2.1.1) измеряется в абсолютных величинах.

Однако во многих случаях при увеличении (уменьшении) значений трендовой составляющей увеличивается (уменьшается) и размах сезонной компоненты. В этом случае уже нельзя использовать абсолютные значения сезонности и необходимо перейти к использованию относительных значений или индексов сезонности, которые привязаны к трендовой составляющей. Трендовая составляющая и в этой модели измеряется так же, как и в аддитивной модели в абсолютных величинах. Мультипликативная модель может быть записана в виде

. (2.1.2)

Однако в ряде случаев, когда одноименные значения сезонной компоненты “скачут” вверх и вниз с существенной амплитудой, отнесение модели к тому или иному типу осуществляют на основании других критериев.

Классическая сезонная декомпозиция

Рассмотрение данного вопроса будет полностью основываться на ее реализации в программе STATISTICA. Классическую сезонную декомпозицию как для аддитивной, так и для мультипликативной модели временного ряда можно разбить на следующие шаги.

1. Выравнивание исходного временного ряда методом скользящей средней.

2. Получение значений ряда, отражающего сезонную и случайную составляющую.

a) Аддитивная модель. Расчет отклонений фактических значений ряда от уровней сглаженного ряда. Полученный ряд этих отклонений отражает эффект сезонности и случайности.

б) Мультипликативная модель. Получение ряда частных от деления исходного ряда на значения уровней сглаженного ряда. Достаточно часто эти индексы выражаются в виде процентов, т.е. увеличенными в 100 раз.

Надо сказать, что именно на этом шаге можно окончательно определить, какая все-таки модель будем использована: аддитивная или мультипликативная. Для этого часто выполняют шаг 2а и делают окончательный выбор модели в зависимости от поведения сезонной компоненты для одноименных периодов.

3. Получение значений сезонной компоненты.

Вначале производится усреднение значений уровней ряда, полученного на 2-м шаге для одноименных месяцев (кварталов).

Затем осуществляется корректировка первоначальных значений сезонной составляющей в соответствии с предположением, что суммарное воздействие сезонности за период предполагается нейтральным.

а) Аддитивная модель. Сумма значений сезонной составляющей за полный сезонный цикл должна быть равна нулю.

б) Мультипликативная модель. Сумма значений сезонной составляющей за полный сезонный цикл, если эти значения выражены в виде индексов (%), должна быть равна длительности периода (умноженному на 100). Для мультипликативной модели индексы часто так и называют индексами сезонности.

Полученные скорректированные значения сезонной составляющей распространяются на все периоды временного ряда.

4. Получение значений трендовой и случайной составляющей.

а) Аддитивная модель. Значения T + E получаем из соотношения T + E = Y – S, т.е. от значений исходного временного ряда надо вычесть скорректированные значения сезонной компоненты.

б) Мультипликативная модель. Значения получаем из соотношения , т.е. значения исходного временного ряда надо поделить на скорректированные значения индекса сезонности (и еще на 100, если они выражены в %).

5. Получение трендовой (T) составляющей путем сглаживания ряда, полученного на 4-м шаге.

6. Получение случайной составляющей. По данной компоненте производится оценка адекватности выбранной модели.