Аналитическое выравнивание временных рядов

1. . Кривые роста и интерполирование

В настоящее время достаточно часто можно подобрать для того или иного временного ряда так называемую кривую роста. Прогнозирование на основе моделей кривых роста основано на экстраполяциии с использова­нием различных функций от времени . При этом предполагает­ся, что характер развития временного ряда инерционен. По типу функции модели разделяются на 3 класса в зависимости от типа процесса, ко­торый они описывают:

1. Процессы с монотонным характером тенденции и отсутствием пределов роста.

2. Процессы, имеющие пределы роста (кривые насыщения).

3. Процессы, имеющие кроме пределов роста еще и точки перегиба (S-образные кривые насыщения).

Однако модели кривых роста могут использоваться лишь в условиях, когда уровни ряда не претерпевают существенных изменений. В условиях, когда показатели ряда претерпевают такие изменения, экстраполяция с помощью кривых роста может приводить к существенному огрублению процесса оценивания.

В этом случае с успехом может применяться интерполирование сплайнами. При этом идет подгонка кривой по отрезкам временного ряда, на которых тенденция сохраняется неизменной. К выбранным точкам из­лома как бы прикладывается гибкая упругая линейка (spline) и, таким об­разом, формируется кривая. Понятно, что уравнения зависимости значе­ний ряда от параметра времени слева и справа от узла интерполирования отличаются, но в точках излома должны выполняться дополнительные ус­ловия непрерывности для функции слева и справа от узловых точек. При этом степень полинома может быть небольшой. Наибольшее распространение в практике получил кубический интерполяционный сплайн.

Кривые роста 1-го класса

1. Класс полиномов

После выбора степени полинома необходимо ввести дополни­тельных столбцов ( следом за столбцом t) и построить регрессию на с константой, не равной нулю (при этом ).

Решение в Excel

Меню: СервисАнализ данныхРегрессия. В качестве входного интервала Y необходимо задать верхнюю и нижнюю координату исходно­го ряда. В качестве входного интервала X необходимо задать верхнюю ле­вую координату в столбце и нижнюю координату в столбце . Значи­мость получаемых в результате решения параметров оценивается по критерию t-Стьюдента (p).

2. Простая экспоненциальная (показательная) кривая

Параметр характеризует начальные условия развития, - постоян­ный темп развития, так как . Приводим модель к линей­ному виду , формируем столбец , строим регрес­сию на t и определяем параметры , а после возведения exp в степени и – искомые параметры .

3. Логарифмическая парабола

Приводим модель к линейному виду , фор­мируем столбцы и (следующим за ), строим регрессию на t и и определяем параметры , а после возведения exp в сте­пени , , – искомые параметры .

Кривые роста 2-го класса

1. Модифицированная экспонента

Если известно значение асимптоты k, то после переноса известного в левую часть и логарифмирования получим: . Формируем столбец , строим регрессию на t и оп­ределяем параметры , а после возведения exp в степени и – искомые параметры .

Когда k неизвестно и ряд изменяется монотонно, т.е. когда значения приростов положительны и можно найти их логарифмы, то можно запи­сать соотношение модели для двух смежных моментов времени и найти их разность:

.

Сформировав столбец , строим регрессию на t и оп­ределяем параметры и , затем параметр , и, наконец, .

Можно применить метод трех сумм. Он заключается в следующем. Весь ряд разбивается на 3 равных отрезка, или подпериода. Обозначим сумму значений для каждого подпериода через . Эти суммы могут быть легко найдены (при этом берется 3n членов ряда). Предположив, что уровни ряда точно следуют модифицированной экспоненте, можно оценить эти суммы:

. (3.3.1)

. (3.3.2)

. (3.3.3)

Вычитая (3.3.1) из (3.3.2) и (3.3.2) из (3.3.3) получим:

. (3.3.4)

Из 1-го уравнения (3.3.4), тогда имеем:

. (3.3.5)

Подставляя (3.3.5) во 2-е уравнение (3.3.4), получим:

,

откуда

. (3.3.6)

Наконец, из (3.3.1) получим оценку k:

(3.3.7)

нятие о линейных КРУ с постоянными коэффициентами

Модели АР [14, c. 83–100] могут быть представлены в виде

, (3.3.1)

где значение k определяло порядок модели авторегрессии. Уравнения вида (3.3.1), связывающие значение переменной в момент времени t со значениями в предшествующие моменты времени, и называются конечно-разностными уравнениями (КРУ). Далее будут описываться только линейные КРУ с постоянными коэффициентами, которые составляют наиболее важный случай общей теории КРУ. Это связано с тем, что значения параметров в моделях авторегрессии не зависят от времени, а являются некоторыми постоянными константами, определению которых уделялась большая часть пособия [14, глава 5]. Например, модель авторегрессии 2-го порядка может быть описана уравнением вида

,

где – так называемый “белый шум” [14, с. 69], и при этом искомые параметры от времени явно не зависят.

Если бы эти параметры зависели еще и от времени, а правая часть представляла бы собой нелинейную функцию, то это были бы конечно-разностные уравнения в наиболее общем виде со всеми вытекающими отсюда сложностями. Однако в прогнозировании в основном используются именно линейные конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Именно они и будут описываться без углубления в общую теорию. Теория КРУ излагается по [11], что применительно к однородным линейным КРУ относительно доступно. Желающие же ознакомиться со всеми аспектами данных уравнений могут ознакомиться с ней в подробных и более доступных пособиях, вышедших в последнее время¹. Заметим, что уравнение (3.3.1) может быть записано в виде , что является уравнением того же порядка, что и (3.3.1).

Кроме того, будут рассматриваться только однородные уравнения вида

, (3.3.2)

т.е. с нулем в правой части.

Будем искать решение в виде

. (3.3.3)

Подставляя (3.3.3) в (3.3.2) получим

,

или

, (3.3.4)

так как

.

Уравнение (3.3.4) будем называть характеристическим² для КРУ (3.3.2). Корни (3.3.4) могут быть как однократные, так и многократные.

Рассмотрим случай однократных корней. В этом случае можно указать k различных решений (3.3.2):

, (3.3.5)

где – корни характеристического уравнения (3.3.4). Можно утверждать, что в этом случае k решений (3.3.5) линейно независимы.

Действительно, определитель³

. (3.3.6)

Но, как известно из курса алгебры [21], а частный случай для уравнений 2-го порядка изучается еще в школе (теорема Виета),

,

следовательно,

,

ибо в противном случае при это привело бы к понижению степени уравнения (3.3.2) до k – 1 и привело бы нас к противоречию с тем, что рассматривается уравнение k-го порядка. Второй же множитель в (3.3.6) есть определитель Вандермонда [8, с. 15]

где

и в 0 также не обращается при различных , не равных 0. Поэтому решения (3.3.5) будут действительно линейно независимы, а общее решение уравнения (3.3.2) запишется так:

, (3.3.7)

где – произвольные постоянные.

Если среди корней есть комплексные, то, в соответствии с теорией уравнений, каждый из таких корней будет иметь сопряженную пару. Выделим одну такую пару из (3.3.7), отбросив пока произвольные постоянные :

, (3.3.8)

где

.

Как известно, комплексное число на плоскости представляются в виде точки, причем абсциссой точки служит действительная, а ординатой – мнимая часть числа. Перейдем от декартовой к полярной системе координат, где значение этой же точки будет определяться радиус-вектором, проведенным из начала системы координат. Тогда

где длина этого радиус-вектора или так называемый модуль комплексного числа определяется по соотношению

, (3.3.9)

а угол, задающий направление этого радиус-вектора или так называемый аргумент комплексного числа, определяется по соотношению

. (3.3.10)

Воспользовавшись формулой Муавра, выделенная пара может быть записана в форме

и .

Составим из них 2 линейные комбинации

и

Отсюда видно, что в общем решении они будут представлены в виде суммы

, (3.3.11)

где и – действительные числа.

Таким образом, общее решение составится в случае однократных корней в виде линейной комбинации из выражений вида

.

Более сложный случай кратных корней будет рассмотрен чуть ниже после рассмотрения ряда примеров на случай однократных корней.

Рассмотрим вначале классический пример из теории чисел, который является также примером одной из первых демографических моделей (анализ ее дан в § 5.1), а потом и пример, связанный с рассмотренными нами ранее моделями авторегрессии.

Пример 3.3.1

Последовательность чисел, начинается с нуля и единицы, а далее каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …(числа Фибоначчи). Найти выражение общего члена последовательности и найти первые его члены до 50-го включительно.

Решение в Excel

Итак, задача сводится к КРУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

,

где обозначает число Фибоначчи номера x.

Составляя характеристическое уравнение

,

находим его корни

,

так что

,

где произвольные постоянные легко могут быть найдены из начальных условий:

.

Выполним расчеты рекуррентно и по выведенному аналитическому представлению.

Результаты расчетов показаны в табл. 3.3.1. В столбце C расчет произведен по рекуррентному соотношению. Так, например, в ячейке C4 записана формула =C2+C3. А в столбце D – по выведенному аналитическому представлению. Так, в ячейке D4 записана формула =(1/5^0.5)*((1+5^0.5)/2)^B4-(1/5^0.5)*((1-5^0.5)/2)^B4. Результаты расчетов совпадают.

Т а б л и ц а 3.3.1

	A	B	C	D
1		№ п/п	Рекуррентно	Аналитически
2		0	0	0
3		1	1	1
4		2	1	1
5		3	2	2
6		4	3	3
…
50		48	4807526976	4807526976
51		49	7778742049	7778742049
52		50	12586269025	12586269025

Сезонная декомпозиция