Линейная сглаживающая функция

Пусть имеется временной ряд , который локально может быть описан на временном интервале 2m+1 линейной функцией вида

(2.1.1)

где .

Для подбора коэффициентов воспользуемся критерием минимума для метода наименьших квадратов (МНК):

. (2.1.2)

Откуда, дифференцируя левую часть (2.1.2) по параметрам и приравнивая значения полученных частных производных нулю, получаем систему уравнений для определения параметров:

. (2.1.3)

Так как , то

, (2.1.4)

. (2.1.5)

Оценка сглаженного значения временного ряда определяется в сред­ней точке, т.е. при t = 0, поэтому из (2.1.1) вытекает, что . Поэтому соотношение (2.1.4) означает, что в качестве сглаженного значения надо брать среднее арифметическое окаймляющих его 2m+1 членов.

Обычно для описания алгоритма сглаживания используются задания весовых коэффициентов для первых его m+1 сглаживающих значений, так как . В данном случае эти значения

. (2.1.6)

2.2. Параболическая и кубическая сглаживающие функции

Пусть имеется временной ряд , который локально может быть описан на временном интервале 2m+1 параболической функцией вида

(2.2.1)

или кубической функцией

, (2.2.2)

где .

Снова воспользовавшись критерием минимума МНК для функций:

(2.2.3)

и

, (2.2.4)

получим соответствующие системы уравнений, которые мы будем рассматривать одновременно.

Из (2.2.3) имеем:

(2.2.5)

а из (2.2.4):

. (2.2.6)

При выводе соотношений (2.2.5) и (2.2.6) использовано соотноше­ние , действительное для заданного временного интерва­ла .

Оценка сглаженного значения временного ряда определяется в сред­ней точке, т.е. при t = 0, поэтому из (2.2.1), как и из (2.2.2), вытекает, что . Но, как нетрудно установить из систем (2.2.5) и (2.2.6), опреде­ление параметра производится из 1-го и 3-го уравнений соответствую­щих систем, которые идентичны.

Выразив из 3-го уравнения любой из систем параметр

и подставив в 1-е уравнение, получим:

. (2.2.7)

В зависимости от значения m получим значения сглаживающих коэффициентов.

При m=2 или длине усреднения 2m+1=5 имеем:

и

. (2.2.8)

При m=3 или длине усреднения 2m+1=7 имеем:

и

. (2.2.9)

При m=4 или длине усреднения 2m+1=9 имеем:

и

. (2.2.10)

Результаты (2.2.8),(2.2.9) и (2.2.10) объединены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1. Значения весовых коэффициентов в формуле скользящего среднего для полинома степени 2 и 3

m	Длина усреднения 2m+1
2	5
3	7
4	9

Из симметричности преобразований для получения коэффициентов следует, что , поэтому коэффициенты в таблице не показываются.

Однако при сглаживании по формулам табл. 2.2.1 m первыx и m по­следних значений ряда не могут быть получены. Для получения и этих значений необходимо проводить аппроксимацию по параметрам, получен­ным по 2m+1 первых либо последних значений исходного ряда с учетом соотношения (2.2.1) или (2.2.2).

Можно даже получить соответствующие весовые коэффициенты. Рас­смотрим их построение на примере параболического полинома (2.2.1). Вернемся к системе (2.2.5) и определим параметры .

Из 2-го уравнения системы (2.2.5) сразу получим

. (2.2.11)

Выразив из 1-го уравнения (2.2.5)

и подставим в 3-е уравнение (2.2.5):

получим

. (2.2.12)

Для m = 2 тогда

, (2.2.13)

. (2.2.14)

Таким образом, параболический полином (2.2.1) для m = 2 можно записать с учетом коэффициентов из табл. 2.2.1, (2.2.13) и (2.2.14) так:

(2.2.15)

Используя (2.2.15), получим значения коэффициентов для t = -1, что соответствует значению 2-го члена сглаженного ряда:

_(2.2.16)

для t = 1, что соответствует значению предпоследнего члена сглаженного ряда:

, (2.2.17)

для t = -2, что соответствует значению 1-го члена сглаженного ряда:

_(2.2.18)

и для t = 2, что соответствует значению последнего члена сглаженного ряда:

_(2.2.19)

_{Объединим (2.2.16) - (2.2.19) в табл. 2.2.2.}

Таблица 2.2.2. Значения весовых коэффициентов в формуле скользящего среднего для полинома степени 2 и m=2 для крайних членов

№ п/п
Первый
Второй
Предпоследний
Последний

Для 1-го и последнего, а также для 2-го и предпоследнего нетрудно усмотреть симметричность коэффициентов.