9)Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна  , она имеет  нулевое (тривиальное) решение x₁=x₂=x₃=...=x_n=0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n  неизвестных, т. е. r<n.  

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

Xi=∆i/∆=0, ∆i=0, ∆≠0 

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность: Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная системаn линейных уравнений с n неизвестными

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. =0.

Если система имеет ненулевые решения, то =0. Ибо при 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же =0, то ранг r основной матрицысистемы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x₃=0,получаем одно частное решение: x₁=0, x₂=0, x₃=0. Положив x₃=1, получаем второе частное решение: x₁=2, x₂=3, x₃=1 и т д.

10)Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Решение Составим характеристическое уравнение

или

.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые

или

.

Отсюда

или .

Вынесем общий множитель за скобки. Тогда получим уравнение

(λ-1)(λ²-7λ+18)=0

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений

Второе уравнение совокупности - квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

Следовательно оно не имеет действительных корней. Поэтому характеристическое уравнение имеет только один действительный корень  λ=1, а матрица только одно собственное значение  λ=1. Найдём собственный вектор, принадлежащий этому собственному значению, решая уравнение

Расписывая по компонентам и подставляя λ=1, получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Второе и третье уравнения одинаковые. Поэтому систему можно переписать в виде: Сложим оба уранения, а затем из второго вычтем первое. Получим

Отсюда

и мы имеем собственный вектор x=

10)Собственными числами матрицы A  являются корни уравнения│A- λE│=0 и только они.

Доказательство. Пусть столбец  α  - собственный вектор матрицы A с собственным числом λ. Тогда, по определению,  Aα= λα. Это равенство можно переписать в виде Aα-λα=0. Так как для единичной матрицы E выполнено Eα=α , то Aα- λEα=0. По свойству матричного умножения (A- λ E)α=Aα- λEα  и предыдущее равенство принимает вид

(A- λE)α. Допустим, что определитель матрицы A-λE отличен от нуля,  │A- λE│≠0 . Тогда у этой матрицы существует обратная (A- λE)^-1 . Из равенства (19.4) получим, что α=(A-λE)^-1*0=0 , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что │A- λE│≠0 , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения │A- λE│=0 .

Пусть λ  -- корень уравнения │A- λE│=0  . Тогда базисный минор матрицы A- λE  не может совпадать с определителем матрицы и поэтому Rg(A-λE)=r<n , n  - порядок матрицы A . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными α₁,α_2,..,α_n , являющимися элементами матрицы-столбца α. По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно n-r , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу λ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы A .      

Определитель │A- λE│ является многочленом степени n от переменного λ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

        Определение 19.5   Матрица │A- λE│ называется характеристической матрицей матрицы A , многочлен │A- λE│ называется характеристическим многочленом матрицы A , уравнение 

│A- λE│=0 называется характеристическим уравнением матрицы A .