5) Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера

Б удем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида    - неизвестные переменные,   - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),   - свободные члены (также действительные или комплексные числа). Такую форму записи СЛАУ называют координатной. В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид A*X=B, где   - основная матрица системы,   - матрица-столбец неизвестных переменных,   - матрица-столбец свободных членов. Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, lAl≠0. Пусть ∆ - определитель основной матрицы системы, а ∆_X1, ∆_X2,…, ∆_Xn  - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:   При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как 

x₁=∆_x1/∆, x₂=∆_x2/∆,…, x_n=∆_xn/∆,. Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

6) Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Возьмем матрицу А порядка  p x n. Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n, то есть, k<=min(p,n). Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка k x k, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется. Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p – k) строк и (n – k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А. Разберемся с определением минора матрицы на примере. Рассмотрим матрицу  . Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка det(-4)=-4. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составили определитель.

Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А, то мы получим минор det(-1)=-1. Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка 

 и  .Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы. Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка  . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является  . Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка

 и  . Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядк . Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А. Другим минором третьего порядка является  получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А. Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка

 и  . Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как k<=min(p,n)=min(3,4)=3. Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка p x n?

Число миноров порядка k может быть вычислено как  , где   и   - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно. чтобы построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n, нам потребуется множество номеров строк матрицы {1,2,…,p} и множество номеров столбцов {1,2,…,n} . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы. Следующие преобразования матрицы называют элементарными: перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля; прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.