2) Умножение матриц. Свойства произведения матриц.
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности m x n и n x q соответственно:
Тогда матрица C размерностью m x q называется их произведением:
где:
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.
Умножение
матриц обладает свойствами:
(AB)C=A(BC)-ассоциативность
умножения;
(AB)=(
A)B=A(
B),
где
-число;
A(B+C)=AB+AC,
(A+B)C=AC+BC-дистрибутивность
умножения; EA=A,
AE=A,
где E-единичная
матрица соответствующего порядка.
Предполагается, что все указанные
произведения имеют смысл.
Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что A-матрица размеров m x n.
Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение AB было определено, матрица B должна иметь размеры n x k. Произведение AB обозначим буквой D. Тогда матрица D имеет размеры m x k. Чтобы произведение (AB)C=DC было определено, матрица C должна иметь размеры k x r. Матрицу (AB)Cобозначим F, матрицу BC обозначим G, матрицу A(BC) обозначим H. Покажем, что элементы, стоящие в i-ой строке и j-ом столбце матриц F и H, равны друг другу, то есть что fij=hij.
По определению
Подставив
из
второго равенства в первое, получим
В
силу предложения
1
В
силу предложения
3
С другой стороны
откуда
Применим предложение1
Сравнивая этот результат, заключаем, что fij=hij. Ассоциативность умножения доказана.
Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.
Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение A(B+C) было определено, матрицы B и C должны иметь размеры n x k. Положим D=B+C, F=A(B+C), G=AB, H=AC, U=AB+AC. Для доказательства равенства A(B+C)=AB+AC, нужно доказать, что fij=uij, i=1,…,m, j=1,…,k. Так как F=AD, то
По
определению суммы матриц, dsj=bsj+csj.
Следовательно,
С
другой стороны,
Тогда
Сравнивая
полученный результат с (7),
получаем
.
Первое равенство в свойстве дистрибутивности
доказано. Второе равенство доказывается
аналогично.
Докажем
первое равенство в свойстве 4. Чтобы
произведение EA
было определено, матрица E
должна иметь порядок m.
Пусть C=EA.
Тогда
где
--
символ
Кронекера. Сумма справа имеет вид
Таким образом C=A, первое равенство в свойстве 4 доказано.