3. Задача про лису и собаку на ограниченном участке в форме круга.

3.1 Постановка задачи.

Теперь усложним предыдущую задачу.

Собака гонится за лисой на ограниченном участке в форме круга. Скорость собаки равна скорости лисы, причем лиса так же, как и собака, может бежать в любую сторону. Это задача похожа на задачу, придуманную Р.Радо, только у него вместо лисы и собаки фигурировали лев и человек. В его задаче спрашивалось: «Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?». В нашей задаче мы будем пытаться доказать обратное, а именно – какой стратегии нужно придерживаться лисе, чтобы собака не смогла ее догнать?

3.1.1. Частный случай 1.

На первый взгляд кажется, что лисе не спастись, если собака выберет следующую стратегию. Сначала она занимает место в центре круга О, а затем бежит так, чтобы все время находиться на радиусе ОЛ, стараясь при этом максимально(насколько позволяет скорость) приблизиться к лисе. Лисе будто ничего не остается, как бежать по окружности(не идти же ей самой на сближение с собакой!). Что получится в этом случае, видно из рисунка 11. Когда собака заняла центр О, лиса находилась в точке Л₀. Обозначим через Л₁ такую точку на окружности, что угол Л₀ОЛ₁ = /2. На отрезке ОЛ₁ построим, как на диаметре, вспомогательную окружность s. Исходную(вдвое большую) – S, и пусть Л – произвольная точка на дуге Л₀Л₁, а С – точка пересечения радиуса ОЛ и окружности s. Тогда дуги Л₀Л и ОС имеют одинаковую длину.

Таким образом, собака(руководствуясь выбранной стратегией) побежит из О в Л₁ по окружности s; в точке Л₁ она поймает лису. Рис. 11

Неожиданная смена направления на противоположное не поможет лисе: если лиса добежит до точки Л(рис. 12), а потом бросится назад в точку Л₂, то собака(в соответствии со своей стратегией) побежит из С в Л₂ по дуге, симметричной СЛ₁ относительно радиуса ОЛ.

Итак, единственный шанс на спасение для лисы – сойти с окружности S. Навстречу собаке? Это представляется бессмысленным, и долгое время считалось, что лисе не избежать поимки.

Сравнительно недавно профессор А.С.Безикович опроверг это заблуждение. Ниже мы приведем его решение сначала в случае, когда собака придерживается радиуса ОЛ, а потом – в случае совершенно произвольного

поведения собаки. Лисе в обоих случаях не нужно сразу убегать на окружность. Она должна отступать из некоторой внутренней точки круга очень постепенно, многократно меняя направление, по замысловатому Рис. 12

спиралеобразному пути.

Следствие. Пусть О – центр круга радиуса r. Л₀ – точка на расстоянии r₀ от центра, r₀  r. Положим, и построим ломаную L так, что (рис. 13): Л_0­Л₁ Л₀Л₁ОЛ₀; Л₁Л₂ = , Л₁Л₂ОЛ₁; вообще Л_n-1Л­_n , Л_n-1Л­_n ОЛ_n-1. Тогда ломаная L обладает следующими тремя свойствами: Рис. 13

1)Она не выходит за пределы круга.

Действительно,

ОЛ_n²= ОЛ_n-1² + Л_n-1Л­_n², так что при любом n

ОЛ_n²

2)Вместе с тем, поскольку

Л₀Л₁ + Л₁Л₂ + … + Л_n-1Л_n , то(при достаточно больших n)сумма длин первых n звеньев сколь угодно велика. Другими словами, ломаная L имеет бесконечную длину.

3)Наконец, по построению каждое звено Л_n-1Л_n ломаной L перпендикулярно радиусу ОЛ_n-1.