1.4. Движение по параболе.

В озьмем на плоскости (х,у) точку Со₁, не лежащую на оси у, а в остальном – произвольную.

Отложим от нее в направлении, противоположном оси у, отрезок С₀D₀ = ОС₀ (рис. 8) и проведем через точку D₀ прямую d, параллельную оси х. Расстояние между осью х и прямой d обозначим через а.

Рис.8

Согласно тому, что парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки О и от некоторой прямой d, парабола (А) равноудалена от О и d и проходит через точку С₀.

Докажем, что именно по этой параболе и побежит собака(относительно системы (х,у)), если в начальный момент она находилась в точке С₀.

Для доказательства представим себе, что ОС₀ и С₀D₀ – это туго натянутые веревки. В точке D₀ веревка С₀D₀ привязана к кольцу, которое надето на прямую d и может свободно скользить по ней. Веревка ОС₀ крепко привязана к точке О. Собака будет подтягиваться по ним обеим сразу – одновременно к точке О и к прямой d. К ним она будет приближаться с одинаковой скоростью. Через некоторое время она окажется в точке С₁(рис. 9). Кольцо, скользящее без трения по прямой d, передвинется в такое Рис. 9

положение D₁, что С₁D₁ перпендикулярны d.

Так как обе веревки укоротятся на один и тот же кусок, то отрезки ОС₁ и С₁D₁ будут равны. Так как С₀, С₁ С₂ равноудалены от О и d, то движение как раз и происходит по упомянутой ранее параболе.

2. Решение задачи

Теперь легко ответить на вопрос задачи: при каких С₀ собака догонит лису?

2.1. Решение

Только при С₀, лежащих на полупрямой l перед точкой Л₀. Вся плоскость, кроме этого луча, - зона, безопасная для лисы. Действительно, если точка С₀ лежит в указанной зоне, то относительно системы координат х, у, движущейся вместе с лисой, собака побежит по параболе. Через некоторое время она пересечет ось х и окажется позади лисы. А в этом случае поймать лису она не сможет.

Благодаря введению движущейся системы координат, мы сможем с легкостью разобраться и в более тонких деталях.

Двигаясь из точки С₀ по параболе (А), собака все время приближается к ее директрисе d, а тем самым – и ее фокусу О. Другими словами, расстояние СЛ между собакой и лисой все время сокращается. При этом (рис. 7) оно стремится к пределу, равному а/2. Пусть координаты С₀ были (х₀;у₀); Рис. 7

расстояние С₀Л₀ = обозначим через r₀; тогда . Таким образом, расстояние СЛ, первоначально равное r₀, никогда не может стать меньше, чем s = .

А может ли оно стать равным s? Посмотрим на рисунок 6. Скорость движения собаки по параболе все время уменьшается. И хотя(в системе координат х, у) собаке нужно пробежать путь конечной длины, чтобы СЛ стало равным , сделать это за конечное время она не сможет. Точное доказательство этого факта требует некоторых вычислений. Рис. 10

Пусть С – точка на параболе (А) с координатами (х, у), Е – проекция точки С на ось х; u(х) – скорость, с которой Е приближается к О. Из рисунка 10 видно, что . Используя уравнение (А), находим, что , откуда .

Таким образом, при скорость ; от до проекция Е движется со скоростью u(х), меньшей ; от до - со скоростью и т.д. То есть на прохождение каждого из этих отрезков тратится время, большее Т ( Значит, Е не сможет дойти до точки х=0 ни за какое конечное время. Иначе говоря, СЛ всегда больше,

чем .