2. Контрольная карта для арифметического среднего с предупреждающими границами. Особенности карты.
КК арифметического
среднего для количественных данных
по ГОСТ
Р 50779.41-96 является
более тонким и соответственно более
сложным инструментом управления процессом,
чем КК Шухарта по среднему значению.
Перед построением КК необходимо
убедиться, что исходные данные
действительно распределены по гауссовскому
закону. Для этого можно воспользоваться
критерием 
,
технология работы с которым представлена
в разделе 20.1.2.1.
Индивидуальные измерения должны быть
проведены инструментом с делением
шкалы 
,
где 
-
стандартное отклонение процесса, которое
должно быть постоянным, приемлемым и
подтвержденным по контрольной карте
выборочных стандартных отклонений
или размахов. При выполнении
указанных условий центральная
линия КК имеет вид
, (3.48)
где 
-
центр настройки процесса по техническим
условиям (ТУ).
Для
формирования верхней и нижней контрольных
границ карты необходимо знать верхнюю
(
)
и нижнюю (
)
границы поля допуска по ТУ,
а также допустимую для процесса долю
(вероятность) несоответствующих единиц
продукции 
. При
условии, что эти величины известны,
запишем соотношение для расчета доли
несоответствующих единиц продукции
при предельно допустимой настройке
процесса 
,
сдвинутой вследствие действия неслучайных
причин в сторону верхней границы
допусковой зоны без изменения стандартного
отклонения
:
. (3.49)
Здесь Ф( ) интеграл вероятности, определенный соотношением (2.20).
Из (3.49) следует
. (3.50)
Аналогично
рассчитывается величина предельно
допустимой настройки процесса 
,
сдвинутой в сторону нижней границы
допусковой зоны.
, (3.51)
. (3.52)
Отметим, что приведенные выше соотношения справедливы как для процессов с односторонним допуском по ТУ, так и для процессов с двухсторонним симметричным допуском.
Поскольку
значения
и
являются
граничными допустимыми настройками
процесса, их также можно считать и
настройками процесса, вышедшего из
статистически управляемого состояния
под влиянием неслучайных факторов.
Введем индекс 
,
который характеризует приведенное
значение настройки для процесса,
вышедшего из статистически управляемого
состояния и рассчитывается по формуле
. (3.53)
Перейдем к формированию границ КК для случая двухстороннего симметричного допуска по ТУ. Эти границы имеют показанный на рисунке 3.4 вид.
Рисунок 3.4. Границы КК арифметического среднего
-
A+
Верхняя граница регулирования
W+
Верхняя предупреждающая граница
T
Центральная линия
Нижняя предупреждающая граница
W-
Нижняя граница регулирования
A-
На рисунке 3.4 представлены пять зон карты. Зона Т- целевая, зоны W+ и W- -предупреждающие, зоны A+ и A- - критические. Отметим, что для одностороннего допуска по ТУ рисунок 3.4 модифицируется так, что от него остаются либо верхняя (нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его возрастанием) либо нижняя половины. Алгоритм действия КК состоит в регистрации факта попадания точек измеряемых выборочных арифметических средних в ту или иную зоны карты. Так, если точки попадают в целевую зону, считается, что процесс находится в статистически устойчивом состоянии. Если заданное планом контроля число последовательных точек k попадает в предупредительную зону, считается, что процесс вышел из статистически устойчивого состояния. Если же число последовательных точек, попавших в предупредительную зону, не превышает k, считается, что процесс остается в статистически устойчивом состоянии. Если хотя бы одна точка попадает в критическую зону, процесс следует остановить для установления причины его разладки.
Значения пороговых уровней, показанных на рисунке 3.4, определяются в соответствии с ГОСТ 50779.41-96 следующим образом.
Верхняя и нижняя предупреждающие границы
. (3.54)
Верхняя и нижняя границы регулирования
. (3.55)
Расчет коэффициентов 
и 
в
этих формулах основан на следующих
соображениях. Вводится понятие средней
длины ARL серии
выборок, которые будут извлечены до
момента выхода арифметического среднего
очередной выборки за пределы
предупредительной границы. Очевидно,
что максимальное значение ARL=
достигается,
когда среднее значение процесса
совпадает с центром настройки
. При
достижении средним значением
величин предельно допустимых
настроек
или 
значение ARL=
удовлетворяет
неравенству 
.
Это свойство резкого уменьшения величины ARL в
случае расстройки процесса и положено
в основу процедуры КК арифметического
среднего. Исходными величинами 
для
расчета КК являются 
.
Следует отметить, что если определение
первых четырех величин в этом списке
не представляет трудности, то
определение 
требует
основательного предварительного
анализа. При заданном наборе
исходных данных по таблицам ГОСТ
Р 50779.41-96 легко определяются
коэффициенты
и
в
соотношениях (3.54) и (3.55), которые
и завершают расчет КК. Чтобы
избежать трудностей при назначении в
исходных данных
и
можно
задавать не эти величины, а объем
выборки n,
при этом план контроля определять по
таблицам ГОСТ, отыскивая вариант, для
которого величина отношения 
максимальна.
В случае если стандартное отклонение
процесса
в
формулах (3.54) и (3.55) заранее
неизвестно, следует оценить его
на участке заведомо стабильной работы
процесса.
Формула, по которой в ГОСТ рассчитывается значение ARL для одностороннего критерия качества, имеет вид
. (3.56)
Здесь p – вероятность того, что точка на КК попадает в зону Т, q – вероятность того, что точка на КК попадает в зону W, k – число последовательных выборок, попавших в зону W. Формула (3.56) получена с использованием теории марковских цепей с тремя состояниями.
На рисунке 3.5 приведена КК арифметического среднего, построенная для исходных данных примера в ГОСТ 50779.41-96. Выход трех последовательных точек на КК за верхнюю предупредительную границу свидетельствует о том, что контролируемый процесс вышел из статистически управляемого состояния