25. Приведение матрицы к диагональному виду
Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —
A = TΛT−1
Здесь Λ = diag(λ1,..., λN) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v1,...,vN).
26. Квадратичные формы и их матрицы
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Определение
Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .
Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде
где , а — некоторые элементы поля .
Свойства
Критерий Сильвестра
Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
Разность между числом положительных () и отрицательных () членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.
Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:
27.Квадратичные формы, приведение к каноническому виду. Квадратичной формой от n переменных x1,x2,..,xn называется выражение вида Q(x1,x2,…,x2,xn)= ∑ni=1∑nj=1 aijxixj , где а ij =a ji действительные числа, называемые коэффициентами квадратичной формы. Для записи квадратичной формы в матричном виде из переменных x1,x2,..,xn образуем вектор-столбец x=(x1,x2,…,xn)T, из коэффициентов aij матрицу, кот называется матрицей квадратичной формы и является в силу равенств aij=aji симметричной.Квадратичная форма имеет вид Q(x1,x2,….,xn)=(x,Ax)=xTAx. КФ полностью определяется своей матрицей, и , наоборот, любая квадратичная форма определяется однозначно симметричную матрицу. Приведение к каноническому виду. КФ называется канонической, если все aij=0, i не равно j.
28. Критерий Сильвестра
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу
Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида
Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица не является неотрицательно определённой — так как, например, для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.