21. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства.
Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:
V;
x,
y,
z,
…
V
Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.
Элементы линейного
пространства называются векторами,
обозначаются
,
,
.
Существует единственный нулевой
элемент, для каждого элемента существует
единственный противоположный.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.
Составим линейную комбинацию:
,
если
система
n
векторов – линейно-зависима.
Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.
Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.
Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n
линейно-независимых векторов называется
базисом линейного пространства.
Рассмотрим систему n+1
векторов.
Такое представление
называется разложение
по базису, а числа
называют координатами вектора.
Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.
22, 23. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
n – мерное пространство.
Vn – базис, состоящий из n векторов.
В пространстве
есть базисы
Введем матрицу
перехода от
к
.
24.Собственные векторы и собственные значения
Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.
Определение. Многочлен n-ой степени
P(l)=det(A-lЕ) (1.1)
называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х)=lх, (1.2)
называется собственным вектором преобразования A. Число lназывается собственным значением.
Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:
Ах=lх, (1.3)
где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.
Определение. Алгебраической кратностью собственного значения ljназывается кратность корня lj характеристического многочлена.
Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Найти собственные значения матрицы:
записать характеристическое уравнение:
det(A-lЕ)=0; (1.4)
найти его корни l j, j=1,...,n и их кратности.
Найти собственные векторы матрицы:
для каждого l j решить уравнение
(A-l jE)x=0; (1.5)
найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению l j.