Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_po_VM.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
514.78 Кб
Скачать

21. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства.

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:

V; x, y, z, … V

Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются , , . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

22, 23. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

n – мерное пространство.

Vn – базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы

Введем матрицу перехода от к .

24.Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.

Определение. Многочлен n-ой степени

P(l)=det(A-lЕ) (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.

Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=lх, (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число lназывается собственным значением.

Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=lх, (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.

Определение. Алгебраической кратностью собственного значения ljназывается кратность корня lj характеристического многочлена.

Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

Найти собственные значения матрицы:

записать характеристическое уравнение:

det(A-lЕ)=0; (1.4)

найти его корни l j, j=1,...,n и их кратности.

Найти собственные векторы матрицы:

для каждого l j решить уравнение

(A-l jE)x=0; (1.5)

найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению l j.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]