21. Методика проверки гипотезы случайности выборки способом последовательных разностей. Определение расчетного и критического значений критерия .

Если можно допустить, что в течение наблюдений центр распределения величины х постепенно меняется, но дисперсия остается постоянной, то для проверки гипотезы «случайности» выборки является удобным и вполне приемлемым способ последовательных разностей. Такой случай часто имеет место при наблюдениях за размерами обрабатываемых деталей на настроенном станке, когда вследствие износа инструмента, нагревания станка, циклических погрешностей многопозиционных станков и т. п. центр рассеивания постепенно смещается и, таким образом, происходит медленное и достаточно плавное изменение средней при неизменном стандарте σ, характеризующем рассеивание размеров. Способ последовательных разностей заключается в следующем: по наблюденным значениям х_i выборки, расположенным в последовательности их наблюдения: х₁ х₂, х₃, . . ., х_n, образуют n - 1 разностей между соседними членами: a₁ = х₂ – х₁; a₂ = х₃ – х₂; …………..; a_n-1 = х_n – х_n-1; Доказано, что если выборка взята из генеральной совокупности с параметрами и σ², то математическое ожидание величины a² будет равно: Ма² = 2². (1) Так как состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания является средняя арифметическая, то взяв среднюю арифметическую из величин и разделив ее на два, мы получим несмещенную оценку σ² по данным выборки, которую обозначим с²: .(2) С другой стороны, для обычной несмещенной оценки σ² имеем . Таким образом, мы имеем две несмещенные оценки σ² : с² и s². Когда центр распределения ( ) изменяется достаточно медленно и плавно при неизменном σ², это мало скажется на последовательных разностях, а следовательно, и на величине с², но зато это изменение значительно отразится на величине s², так как в формулу вычисления последней входит непосредственно величина .

В связи с указанным для оценки «случайности» выборки при наличии возможности смещения центра рассеивания (при неизменном σ) целесообразно использовать критерий : (3). При этом малые значения  следует считать указывающими на неверность гипотезы «случайности» выборки. При n > 20 критерий  будет иметь нормальное распределение, если выборки будут действительно случайны. Поэтому критическая область для , отвечающая q % уровню значимости при n > 20, будет определяться неравенством , где . Значение t_q определяется из соотношения . Откуда . Заметим, что функция является функцией Лапласа . Зная по табл. П1 приложения можно определить . Например, n = 24 при q = 5%, . По табл. П1 приложения этому значению функции соответствует t_q =1,65, следовательно, . Если вычисленное по данным 24-х наблюдений τ будет меньше 0,67, то это укажет на неверность нашей гипотезы о «случайности». Если же τ окажется больше 0,67, то гипотеза «случайности» будет верна с вероятностью . Для n ≤ 20 можно использовать табл. 1 допустимых нижних пределов _q для уровней значимости 1 и 5%.