5.2 Лекция 12

5.2.1 Синтез зубчатых механизмов

Зубчатые механизмы применяются для передачи и преобразования вращательного движения. В зубчатых механизмах движение между колесами передается с помощью последовательно зацепляющихся зубьев. Процесс передачи движения с помощью зубьев принято называть зубчатым зацеплением. Вращательное движение между валами можно передавать с помощью фрикционной передачи, в которой вращающий момент обеспечивается силами трения. Основным недостатком фрикционной передачи является возможность пробуксовывания, который отсутствует у зубчатых передач.

5.2.2 Основной закон зацепления.

Зубья зубчатых колес составляют высшую пару IV класса, т.е. представляют собой некоторые поверхности, находящиеся в контакте. Таким образом, профили зубьев – это кривые (а в некоторых случаях прямые) линии.

Рисунок 34

На рисунке 34 показаны два профиля, находящиеся в контакте в точке А. Скорость точки А, принадлежащей первому профилю (V₁), перпендикулярна радиусу О₁А, соответственно, скорость точки А, принадлежащей второму профилю (V₂), перпендикулярна радиусу О₂А. Рассмотрим проекции этих скоростей на общую нормаль (N-N), проведенную к профилям в точке их контакта (С₁ – проекция скорости V₁ , С₂ – проекция скорости V₂). Могут получиться различные соотношения между значениями этих проекций:

1) С₂>С₁ – точка А, принадлежащая второму профилю (А₂), в направлении нормали движется быстрее точки А, принадлежащей первому профилю (А₁). Второй профиль «убегает» от первого, в следующий момент произойдет разрыв кинематической пары (нарушится контакт между звеньями);

2) С₁>С₂ – точка А₁ в направлении нормали движется быстрее точки А₂ (положение на рисунке 34 соответствует этому случаю), то есть точка А₁ стремится к внедрению во второй профиль. Если вычертить следующее положение механизма, то первый профиль в области точки А будет накладываться на второй. В теории зацепления это явление носит название «интерференция профилей». В реальном механизме это приведет к заклиниванию или поломке передачи. Очевидно, что оба этих положения недопустимы – и разрыв кинематической пары, и, тем более, заклинивание и поломка делают передачу неработоспособной;

3) С₁ =С₂ – условие нормальной безотрывной работы профилей.

Из рисунка 34 видно, что V₁C₁ подобен O₁AB₁, и, соответственно, V₂C₂ подобен O₂AB₂. Из подобия треугольников можно записать отношение сходственных сторон:

, ,

или

C₁=₁ ^. O₁B₁ , C₂=₂ ^. O₂B₂ ,

но

С₁=С₂,

значит

.

Здесь i₁₂ – передаточное отношение от первого профиля ко второму (это отношение угловой скорости на входе к угловой скорости на выходе).

Из подобия треугольников O₁B₁W и O₂B₂W (W – точка пересечения общей нормали N-N с линией центров O₁O₂) получаем:

,

откуда

O₁W ^. ₁ =O₂W ^.₂ ,

или

V_W1=V_W2 .

V_W1 – скорость точки W, связанной с первым профилем,

V_W2 – скорость точки W, связанной со вторым профилем.

Эти скорости совпадают не только по величине, но и по направлению

( , , т.е. оба вектора перпендикулярны межосевому расстоянию O₁O₂). Две точки совпадают по своему положению и имеют одинаковые скорости, то есть их относительная скорость равна нулю (V_W1W2=0). Таким образом, точка W является мгновенным центром относительного вращения рассматриваемых профилей.

Исходя из вышеизложенного, можно следующим образом сформулировать условие работоспособности передачи, составленной из двух профилей, входящих высшую кинематическую пару:

- для нормальной безотрывной работы профилей необходимо, чтобы нормаль к этим профилям в точке контакта в любой момент времени проходила через мгновенный центр их относительного вращения. Это условие носит название основного закона зацепления.

Профили, удовлетворяющие основному закону зацепления, называются сопряженными, а кривые которыми они описаны являются взаимоогибаемыми кривыми. При работе передачи взаимоогибаемые кривые перекатываются друг по другу со скольжением. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, связанных с первым и вторым колесами, являются центроидами. При работе передачи центроиды касаются в мгновенном центре относительного вращения и перекатываются друг по другу без скольжения. При постоянном передаточном отношении центроиды представляют собой окружности, которые в теории зацепления называются начальными окружностями. Таким образом, передачи с постоянным передаточным отношением – это передачи с круглыми колесами, которые используются в большинстве случаев практики. В этом случае мгновенный центр при работе передачи не меняет своего положения и называется полюсом зацепления.

Элементы зубчатого зацепления. Стандартами на зубчатое зацепление вводятся определенные обозначения параметров:

Z – число зубьев колеса;

d – диаметр;

h – высота;

p – шаг (расстояние между одноименными профилями зубьев, измеренное по дуге какой-либо окружности);

S – толщина зуба (также измеряется по дуге окружности);

e – ширина впадины между зубьями;

a – межосевое расстояние.

Вводятся также буквенные индексы, показывающие, к какой окружности относится параметр:

w – начальная окружность;

b (или B) – основная окружность;

a – окружность вершин;

f – окружность впадин;

Y – окружность произвольного радиуса;

Без буквенного индекса – делительная окружность. Делительная окружность – это окружность, на которой шаг (и угол профиля) является стандартным:

,

тогда

,

где

.

Как видно из формул, вносить в стандарт непосредственно значения шага неудобно, т.к. при этом диаметр делительной окружности всегда будет величиной иррациональной (при изготовлении круглых деталей измеряют диаметры, поэтому надо, чтобы именно диаметры имели удобную величину). Поэтому в стандарт вводится величина, характеризующая отношение шага к числу , которая называется модулем зацепления ( обозначается "m" и представлена в стандарте в миллиметрах). Таким образом, основные параметры делительной окружности определяются следующими формулами:

d=m ^. Z, p= ^. m.

Модуль зацепления, с одной стороны обеспечивает условие взаимозаменяемости колес (работать в паре могут любые колеса одного модуля), с другой стороны определяет область применения зубчатых передач (передачи с m<1мм – мелкомодульные передачи – применяются в основном в небольших приборах; в общем машиностроении обычно применяют модули в пределах от 2мм до 5мм; модули более 10мм применяются в передачах тяжелого машиностроения).

Кроме буквенных индексов используются также индексы числовые. При расчете одной пары колес принято обозначать индексом "1" меньшее колесо пары (которое часто называют шестерней), индексом "2" – большее колесо.

Ниже приведены примеры обозначений параметров колес:

d_w1, d_w2 – диаметры начальных окружностей колес пары;

d_f1, d_f2 – диаметры окружностей впадин;

d₁, d₂ – диаметры делительных окружностей;

S₁ – толщина зуба на делительной окружности первого колеса;

S_a2 – толщина зуба на окружности вершин второго колеса;

S_Y1 – толщина зуба на произвольно выбранной окружности;

e_w1 – ширина впадины между зубьями на начальной окружности первого колеса;

h_aw1 – высота головки зуба первого колеса (часть зуба, расположенная вне начальной окружности);

h_wf2 – высота ножки зуба второго колеса (часть зуба, расположенная внутри начальной окружности);

a – делительное межосевое расстояние (сумма радиусов делительных окружностей);

a_w – межосевое расстояние (сумма радиусов начальных окружностей).

Следует обратить внимание на то, что шаги на начальных, делительных и основных окружностях для обоих колес пары одинаковы, поэтому в обозначениях этих параметров численный индекс отсутствует:

p_w1=p_w2=p_w – шаг на начальной окружности;

p₁=p₂=p – шаг на делительной окружности;

p_b1= p_b2=p_b – шаг на основной окружности (основной шаг).

Принятая система удобна, т.к. дает возможность по обозначению легко определить, что это за параметр и к чему он относится.