Билет №1

Элементы математической логики.

Опр. Под высказыванием понимают всякое утверждение или предложение о котором имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Замечание. Любое высказывание может быть либо ложным, либо истинным. Третьего не дано.

Не всякое предложение или утверждение, даже осмысленное, является высказыванием. Высказывание часто обозначают большими латинскими буквами (A,B,D,R)

Операции над высказываниями

Опр. Если высказывание образовано из 2 высказываний А и В с помощью союза ИЛИ, то оно называется дизъюнкцией или суммой 2-х высказываний и обозначается AvB.

Опр. Если высказывание образовано из 2 высказываний Аи В с помощью союза И, то оно называется конъюнкцией или произведением 2-х высказываний и обозначается AʌB.

Опр. Высказывание вида «если А, то В» обозначается А→В и называется импликацией, где А – посылка, В – следствие.

Опр. Высказывание вида «А только тогда, когда В» называется эквивалентностью 2-х высказываний и обозначается А↔В

А В AvB А В AʌB А В А→В А В А↔В 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 А	¬А
0	1
1	0

Опр. Если таблицы истинности 2-х высказываний совпадают, то такие высказывания называют равные и их связывают знаком «=».

Опр. Высказывание называют тождественно истинным, если оно истинно в независимости от истинности или ложности составляющих его высказываний.

Предложения, зависящие от переменной. Кванторы общности и существования. Необходимые и достаточные условия.

А(х) хϵМ, где М≠Ø зависящее от переменной х. само по себе не является высказывание, но если фиксировать х₀ϵМ, то А(х₀) – уже высказывание. Пусть TсМ, это совокупность всех тех х₀ϵМ, для которых А(х₀) – истина, а Т*=М\Т (за вычетом Т).

Ᾱ(х)ϵМ→А(х)

ƎхϵМ : А(х)

В математическом рассуждении особую роль играет импликация. Если истинность этого рассуждения установлена, то В называют необходимым условием, а А называют достаточным условием В.

А→В В→А ¬А→¬В ¬В→¬А.