35. Рівняння лінійної парної регресії. Коефіцієнт кореляції.

Рівняння лінійної парної регресії:

,

де і називають коефіцієнтом регресії. Для обчислення необхідно знайти

;

;

_________________________________

35. Визначення параметрів в0, в1.

У результаті статистичних спостережень дослідник дістає характеристики для незалежної змінної х і відповідні значення залежної змінної у.

Отже, необхідно визначити параметри , . Але істинні значення цих параметрів дістати неможливо, оскільки ми користуємося інформацією, здобутою від вибірки обмеженого обсягу. Тому знайдені значення параметрів будуть лише статистичними оцінками істинних (невідомих нам) параметрів , . Якщо позначити параметри , які дістали способом обробки вибірки, моделі

відповідатиме статистична оцінка

.

Якщо ми прийняли гіпотезу про лінійну форму зв’язку між ознаками Х і Y, то однозначно вибрати параметри , , які є точковими статистичними оцінками відповідно для параметрів , , практично неможливо. Тому необхідно вибрати такий критерій, за яким можна здійснити вибір параметрів , .

На практиці найчастіше параметри , визначаються за методом найменших квадратів, розробка якого належить К. Гауссу і П. Лапласу. Цей метод почали широко застосовувати в економіко-статистичних обчисленнях, відколи була створена теорія регресії.

Відповідно до цього методу рівняння лінійної парної регресії необхідно вибрати так, щоб сума квадратів відхилень спостережуваних значень від лінії регресії була б мінімальною.

,

де r_xy —парний коефіцієнт кореляції між ознаками X і Y. Тоді

.

_________________________________

35. Властивості в0, в1.

Точкові статистичні оцінки можна подати в такому вигляді:

;

.

Властивості:

1) отже, є точковою незміщеною статистичною оцінкою для параметра ,

,

.

2) Отже, визначили, що є точковою незміщеною систематичною оцінкою для параметра

3) Статистичні оцінки як випадкові величини впливають на зміщення лінії регресії; так, викликає вертикальне зміщення лінії регресії, а — зміну кута нахилу її.

матиме нормальний закон розподілу із числовими характеристиками:

також буде мати нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

_________________________________

35. Довірчі інтервали для в0, в1.

Довірчий інтервал для параметра

де знаходимо за таблицею за заданою надійністю γ і числом ступенів свободи .

Довірчий інтервал для параметра буде таким:

_________________________________

35. Множинна лінійна регресія

На практиці здебільшого залежна змінна пов’язана з впливом не одного, а кількох аргументів.

У цьому разі регресію називають множинною. При цьому якщо аргументи в функції регресії в першій степені, то множинна регресія називається лінійною, у противному разі — множинною нелінійною регресією.

Довірчий інтервал для множинної лінійної регресії

Матриця Х містить m лінійно незалежних векторів-стовпців, а це означає, що ранг її дорівнюватиме m і визначник Отже, матриця має обернену.

Дисперсії статистичних оцінок визначають з допомогою кореляційної матриці для вектора

Коефіцієнт множинної регресіїТісноту між ознаками Y та X, де , вимірюють з допомогою коефіцієнта множинної кореляції R, що є узагальненням парного коефіцієнта кореляції r_ij і обчислюється за формулою

.

Чим ближче значення R до ±1, тим краще вибрано функцію регресії

Нормування коефіцієнтів регресії

Множинна лінійна регресія дає змогу порівняти вплив на досліджуваний процес різних чинників. У загальному випадку змінні репрезентують чинники, що мають різні одиниці виміру (кілограми, гривні, метри тощо). Отже, для того щоб порівняти і з’ясувати відносну вагомість кожного з чинників, використовують так звані нормовані коефіцієнти регресії, які визначають за формулою

де — коефіцієнт регресії після нормування; — виправлене середнє квадратичне відхилення змінної — виправлене середнє квадратичне відхилення ознаки Y.

_________________________________