ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ для проведения экзамена:

1. Понятие множества. Логические символы.

2. Операции над множествами.

3. Отображение множества. Эквивалентность множества.

4. Числовые множества.

5. Ограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств.

6. Множество комплексных чисел.

7. Алгебраическая форма комплексного числа.

8. Тригонометрическая форма комплексного числа.

9. Показательная форма комплексного числа.

11. Формула Эйлера, формула Муавра.

12. Понятие функции. Способы задания.

14. Основные характеристики поведения функций.

15. Сложная функция. Обратная функция.

16. Основные числовые функции и их графики.

17. Классификация функций.

Ответы:

1. Множество относится к математическим объектам, для которых нет строгого определения. Другим примером неопределяемого понятия служит точка в геометрии. Такие понятия вводятся на интуитивном уровне, но зато на их основе даются строгие определения других математических объектов.

Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин "множество" в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают .

Квантор   - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

Квантор   - заменяет выражение "существует", "найдется".

Запись   (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем  . Если  , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем  . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем  .

2. Операции над множествами.

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b,c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

        N - множество всех натуральных чисел;                   Z - множество всех целых чисел;                   Q - множество всех рациональных чисел;                   R - множество всех действительных чисел;                   C - множество всех комплексных чисел;                   Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись   (или  ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись   (или  ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

3. Отображение множеств.

Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение.  . Здесь,  – имя (наименование) отображения. Если  – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают   и пишут  . Элемент   называют значением отображения  "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента  .

Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения)   и обозначают  , а множество значений  обозначают   и называют образом отображения  .   является подмножеством множества В:  .

4.Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными. Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.

Очень часто встречаются числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых множеств являются:

а)     множество всех натуральных чисел ( );

б)    множество всех положительных рациональных чисел ( );

в)     множество всех рациональных чисел( );

г)     множество всех целых чисел ( );

д)    множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству  ;

5. ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наименьший элемент  , который равен или больше всех элементов множества  . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается  .

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наибольший элемент  , который равен или меньше всех элементов множества  . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается  .

6. множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел.