Тема 9.4. Основні властивості визначеного інтеграла

Розглянемо основні властивості визначеного інтеграла, вважаючи підінтегральну функцію інтегрованою на відрізку . При виведенні властивостей використовуватимемо означення інтеграла і формулу Ньютона-Лейбніца.

1. Якщо — постійне число і функція інтегрована на

то постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

(9.4.1)

Складемо інтегральну суму для функції . Маємо :

.

Тоді . Звідси випливає, що функція інтегрована на і справедлива формула (9.4.1).

2. Якщо функції і інтегровані на , тоді інтегрована на їх сума і

(9.4.2)

тобто інтеграл від суми рівний сумі інтегралів.

.

Властивість (2) розповсюджується на суму будь-якого скінченного числа доданків.

3. . Цю властивість можна прийняти за означенням. Ця властивість також підтверджується формулою Ньютона-Лейбніца.

.

4. Якщо функція інтегрована на і , то

(9.4.3)

тобто інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів по частинах цього відрізка. Цю властивість називають аддитивністю визначеного інтеграла (або властивістю аддитивності).

При розбитті відрізка на частини включимо точку в число точок поділу (це можна зробити зважаючи на незалежність границі інтегральної суми та способу розбиття відрізка на частини). Якщо , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Кожна з написаних сум є інтегральною відповідно для відрізків ,, ,, . Переходячи до границі в останній рівності при , отримаємо рівність (38.3).

Властивість (4) справедлива при будь-якому розташуванні точок (вважаємо, що функція інтегрується на більшому з відрізків).

Так, наприклад, якщо , то

.

Звідси

(використані властивості (3) і (4)).

5. «Теорема про середнє». Якщо функція неперервна на відрізку , то існує точка така, що

.

□ По формулі Ньютона-Лейбніца маємо

,

де . Застосовуючи до різниці теорему Лагранжа (теорему про скінчевий приріст функції), отримаємо

.■

Властивість (5) («Теорема про середнє») при має простий геометричний зміст: значення визначеного інтеграла дорівнює, при деякому , площі прямокутника з висотою і основою (див. рис. 170).

(рис.170)

Число називається середнім значенням функції на відрізку .

6. Якщо функція зберігає знак на відрізку , де , то інтеграл має той же знак, що і функція. Так, якщо на відрізку , то .

За «теоремою про середнє» (властивість (5))

, де . А оскільки для всіх , то і

.

Тому , тобто .

7. Нерівність між неперервними функціями на відрізку , можна інтегрувати. Так, якщо при , то .

Оскільки , то при , згідно властивості (6), маємо

.

Або, згідно властивості (2)

, тобто .

Відзначимо, що диференціювати нерівності не можна.

8. Оцінка інтеграла. Якщо т і М — відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку , , то

.

Застосовуючи до крайніх інтегралів властивість (5), отримаємо

.

Якщо , та властивість (8) ілюструється геометрично: площа криволінійної трапеції вкладена між площами прямокутників, основою яких є , а висоти рівні і (див. рис.171).

(рис.171)

9. Модуль визначеного інтеграла не перевершує інтеграла від модуля підінтегральної функції:

.

Застосовуючи властивість (7) до очевидних нерівностей , отримаємо .

Звідси слідує, що .

10. Похідна визначеного інтеграла по змінній

верхній межі дорівнює підінтегральній функції, в якій змінна інтегрування замінена цією межею, тобто

.

По формулі Ньютона-Лейбніца маємо: .

Отже,

.

Це означає, що визначений інтеграл із змінною верхньою межею є одна з первісних підінтегральних функцій.