14. Стационарное уравнение Шредингера для трехмерного потенциального ящика.

U(x, y, z) = U_x(x) + U_y(y) + U_z(z),

г де , ,

Стационарное уравнение Шредингера для такой задачи приобретает вид .

Собственные значения энергии частицы, находящейся внутри такого потенциального «ящика» могут быть записаны как , где n_х, n_у, n_z,= 1, 2 …

Таким образом, энергия частицы внутри потенциального параллелепипеда может принимать лишь строго определенные значения – , и энергетический спектр – дискретный.

В случае если потенциальный «ящик» представляет собой куб, т.е. l₁ = l₂= l₃ = l, выражение для собственных значений энергии упрощается:

, где n_х, n_у, n_z,= 1, 2 …

Уровень	Энергия	Квантовые числа	Число состояний	Степень вырожденности
1		(1,1,1)	1	невырожденное
2		(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)	3	вырожденное
3		(1,2,2) (2,1,2) (2,2,1)	3	вырожденное
4		(3,1,1) (1,3,1) (1,1,3)	3	вырожденное
5		(2,2,2)	1	невырожденное
6		(1,2,3) (1,3,2) (2,3,1) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1)	6	вырожденное

Состояния, при которых одному энергетическому уровню соответствуют несколько состояний, называются вырожденным, число этих состояний называется степенью или кратностью вырождения. Состояние, когда одному уровню соответствует одно состояние, называется невырожденным.

15. Стационарное уравнение Шредингера для одномерного потенциального порога.

Рассмотрим случай одномерного движения частицы в потенциальном поле, энергия которого также зависит только от координаты х , причем при х = 0 претерпевает скачок:

для одномерной задачи движения частицы вдоль оси х приобретает вид: .

1. Сначала рассмотрим случай, когда E > U₀.

Такой порог называется низким. Волны Де Бройля ведут себя подобно оптическим волнам, которые на границе 2 сред с различными показателями преломления испытывают частичное отражение.

; ; .

Коэффициент отражения тогда можно определить как

.

Выражение для коэффициента прозрачности порога можно записать в виде:

.

R>0 следовательно даже если энергия частицы больше высоты порога есть вероятность что частица отразится от этого порога. R+D =1 значит D<1 следовательно в отличие от классической частицы вероятность проникновения квантовой частицы сквозь барьер<100%. K₁>K₂ (рисунок вверху)

2. E < U₀ - высокий порог.

k₂=ik =1

В этом случае квантовая частица, как и классическая частица, с вероятностью 100% отражается от потенциального барьера.

Определим глубину проникновения частицы за потенциальный порог l – это расстояние, на котором вероятность нахождения частицы за барьером убывает в «е» раз, т.е. или . Тогда выражение для l имеет вид .