X. Электромагнитное поле

1. Токи смещения

Анализ опытных данных показывает, что теорема Гаусса-Остроградского и ее аналог для магнитного поля, выражающий отсутствие магнитных зарядов в природе, являются общими законами теории электрических и магнитных явлений. Эти теоремы справедливы и в случае переменных полей. Естественно предположить, что и закон электромагнитной индукции является общим законом электродинамики. Все известные к настоящему времени измерения свидетельствуют в пользу закона сохранения заряда, который является фундаментальным законом природы.

Таким образом, в дифференциальной форме выполняются следующие уравнения

divD=4; (1)

divB=0; (2)

(3)

(4)

Справедливость уравнения (1) для движущихся зарядов согласуется с релятивистской инвариантностью заряда. Отсутствие магнитных зарядов также является релятивистски инвариантным свойством.

Однако полученное ранее уравнение

(5)

с помощью которого определяется стационарное магнитное поле по заданному стационарному распределению токов, должно быть определенным образом обобщено на нестационарный случай. Действительно, уравнение (5) не согласуется с уравнением (4). Чтобы убедиться в этом, достаточно взять дивергенцию от обеих частей (5). Так как дивергенция ротора любой векторной функции тождественно равна нулю, то находим

divj=0. (6)

Но, согласно уравнению (4), соотношение обозначает, что

divB0. (7)

Данное противоречие означает, что уравнение (5) не может выполняться для системы, в которой плотность заряда изменяется со временем (по крайней мере не может выполняться точно).

Чтобы устранить возникшее противоречие, добавим, следуя Максвеллу, к плотности тока проводимости j гипотетическую плотность тока j_см. Тогда уравнение (5) трансформируется в следующее уравнение:

(8)

Величину j_см выберем так, чтобы уравнение (8) было согласовано с уравнением (4). Возьмем дивергенцию от обеих частей (8). Находим

(9)

Подставляя в (9) выражение для  из (1), определяем

(10)

Уравнению (9) удовлетворяет следующая функция:

(12)

где G – произвольная дифференцируемая векторная функция. В стационарном случае величина j_см должна обратиться в нуль (должна стать нулевым вектором).

Так как вектор G может представлять собой, например, производную по времени от некоторого другого вектора, то ясно, что формально существует бесконечно много способов устранения противоречия между уравнениями (4) и (5). Для того чтобы продвинуться дальше в решении данной проблемы необходимо, вероятно, рассмотреть конкретные физические примеры, в которых требуется вводить ток j_см.

Рассмотрим, например, металлический шар с зарядом Q, помещенный в неограниченную однородную электропроводящую среду. Такой шар создает радиальное электрическое поле с индукцией

(13)

Появятся электрические токи, которые будут течь в радиальных направлениях. Данная система сферически симметрична. Поле B, создаваемое этими токами, не может, очевидно, иметь радиальную составляющую. В противном случае поток вектора B, например, через сферу S с общим с металлическим шаром центром и с радиусом, превышающим радиус металлического шара, будет отличен от нуля. Этот результат противоречил бы факту отсутствия магнитных зарядов в природе. Далее соображения симметрии приводят нас к выводу и об отсутствии других составляющих B. Следовательно, векторы B и H всюду должны равняться нулю. Но тогда нулю должна быть равна и величина j, если выполняется уравнение (5). Чтобы избежать такого противоречия, необходимо воспользоваться уравнением (8). Имеем

j+j_см=0. (14)

Ток проводимости

текущий от заряженного шара, связан с зарядом Q очевидным соотношением

(15)

Следовательно, из условия (14) вытекает, что величина

связана с зарядом шара соотношением

(16)

Используя формулу (13) находим далее

(17)

В векторной форме данное соотношение принимает вид

(18)

Данный пример (а также ряд других примеров) свидетельствует в пользу того, что в соотношении (12) следует, вероятно, положить

rotQ0. (19)

Итак, в качестве правдоподобной гипотезы можно принять, что

(20)

Все экспериментальные данные, полученные к настоящему времени (в особенности факт существования электромагнитных волн), свидетельствуют в пользу данного соотношения. Именно эти опытные данные и служат окончательным доказательством справедливости выражения (20) для j_см.

Величину j_см Максвелл назвал плотностью тока смещения. Сумму

j_полн=j+j_см (21)

называют плотностью полного тока.

Так как

divj_полн=0, (22)

то линии полного тока подобно магнитным силовым линиям не могут нигде ни начинаться, ни заканчиваться, а должны быть либо замкнутыми, либо идти из бесконечности в бесконечность, либо должны всюду плотно заполнять некоторую поверхность.

Из уравнений (8), (20) вытекает, что переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Можно сказать, что токи смещения аналогичны токам проводимости в том смысле, что они возбуждают магнитное поле по тем же законам, что и токи проводимости (см. уравнение (8) ).

С другой стороны, очевидно, токи проводимости и токи смещения в вакууме представляют собой различные физические явления. Действительно, ток смещения в вакууме обусловлен только изменением электрического поля и не сопровождается никаким движением электрических зарядов. В вакууме такой ток заведомо не сопровождается выделением джоулева тепла.