7. Теоремы Ролля и Лагранжа(без доказательства).

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

8. Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Достаточное условие монотонности Если функция f(x) дифференцируема в промежутке X и f '(x)>0 (f '(x)<0) для всех x  X , то f(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.

9. Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума

 Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция имеет на множестве точку экстремум а , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

10. Достаточное условие экстремума функции.

Необходимые условия экстремума . Если точка x _о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ( x _о ) = 0, либо f ( x _о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x _о - критическая точка. Если f ( x ) при переходе через точку x _о меняет знак плюс на минус, то в точке x _о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x _о экстремума нет.

11. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема Вейерштрасса - без доказательства).

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке дельта, тогда если существует такая точка С из этого промежутка, что для всех х из того же промежутка выполняется неравенство f(x) <= f(С), то говорят что данная функция достигает своего наибольшего значения в точке С. Если же выполняется неравенство f(x) >= f(С), то говорят что данная функция достигает своего наименьшего значения в этой же точке.

12. Асимптоты (вертикальные, наклонные) графика функции, вывод правила их нахождения.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ.

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Т аким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

П ример.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.