3.Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.

Касательной прямой к графику функции f в точке x₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не п араллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x₀), то получаем уравнение y= f'(x₀)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀= f'(x₀)·x₀ + b. Отсюда b=y₀– f'(x₀)·x₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x₀)·x +y₀ – f'(x₀)·x₀ или

y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

4.Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то ,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Δy=f '(x₀) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x₀)→0 при x→x₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

5.Производная суммы, произведения, частного двух функций

Пусть u=u(x), v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

1. 

2. .

3. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).

4. .

5. .

а) .

б) .

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

6. Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную , а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y '_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y '_x= y '_u·u '_x . Применяя эту же теорему для u '_x получаем , т.е.

y '_x = f '_u (u)·u '_v (v)·v '_x (x).