1.9 Рекомендации по использованию методов оптимизации в задачах электроники свч и краткие выводы

Сравнение методов оптимизации на тестовых функциях и опыт их использования для решения задач оптимизации электронных приборов СВЧ позволяет нам сделать следующие выводы [30,37-40].

Среди методов безусловной оптимизации 0-го порядка наиболее эффективны методы Розенброка и симплексный метод. Они не требуют вычисления производных, легко программируются и обеспечивают достаточно высокую скорость сходимости к оптимальному решению поставленной задачи. Метод Розенброка обладает повышенной устойчивостью работы на не квадратичных целевых функциях, а симплексный метод имеет повышенную скорость сходимости на овражных функциях. Для определения минимума в поисковом направлении для методов оптимизации 0-го порядка лучше использовать метод квадратичной аппроксимации.

Среди методов оптимизации 1-го порядка наибольшей эффективностью отличаются методы с переменной метрикой, а наиболее устойчивым из них к ошибкам вычислений оказался метод Гольдфарба. Эти методы являются как бы конечно-разностным приближением метода Ньютона 2-го порядка. Однако в них не надо рассчитывать вторые производные от целевой функции по поисковым параметрам, что представляет достаточно сложную и трудоемкую задачу. Поэтому, методы с переменной метрикой, благодаря использованию заложенных в методе Ньютона идеях, обладают повышенной скоростью сходимости к оптимальному решению и, в силу изменения в процессе поиска минимума метрики пространства параметров, достаточной устойчивостью работы даже на функциях существенно отличающихся от квадратичных. Для определения минимума в поисковом направлении лучше всего использовать кубическую аппроксимацию с расчетом производных. Сами производные от целевой функции по поисковым параметрам проще определять с помощью конечно-разностного метода, но с проверкой точности расчета производных и коррекции приращения параметров. Ускорить расчет производных можно с использованием АУС-метода, однако это приводит к существенному усложнению программы и удлинению процесса ее отладки.

Если целевая функция достаточно гладкая, т.е. непрерывна вплоть до первой производной, то для решения оптимизационных задач лучше всего использовать методы с переменной метрикой. Если же целевая функция имеет изломы или на ее поверхность наложен быстро осциллирующий небольшой шумовой рельеф, то тогда можно надеяться только на методы 0-го порядка: метод Розенброка или симплексный метод. Хотя для таких функций очень сложно гарантировать получение оптимального решения.

Для решения задач условной оптимизации лучшие результаты по скорости сходимости и устойчивости дает метод разделения параметров или метод проекции градиента на поверхность ограничений. К тому же этот метод на каждой итерации дает хоть и не совсем оптимальное, но решение именно задачи условной оптимизации. В то время как, например, метод Хестенса или штрафных функций дает решение задачи условной оптимизации только в конце всего процесса оптимизации, а для этого может и не хватить даже большого времени счета на ЭВМ.

• Автором диссертации лично была разработана универсальная программа условной оптимизации “Opti-K” в системе Delphi-3.0.

Программа Opti-K предназначена для поиска локального минимума многопараметрической целевой функции при наличии вектора нелинейных ограничений на оптимизируемые параметры.

Она может быть использована для расчета оптимальных конструкций приборов и устройств, допускающих математическое моделирование происходящих в них процессов, например, в задачах электроники, электродинамики т.д.

Пользователь должен составить только одну процедуру на Delphi, в которой рассчитываются целевая функция и вектор ограничений.

В программе Opti-K реализованы следующие методы оптимизации первого порядка с переменой метрикой:

- метод наискорейшего спуска;

- метод сопряженных градиентов;

- метод первого ранга;

- метод Давидона-Флетчера-Пуаэлла;

- метод Гольдферба.

Учет ограничений основан на методах разделения параметров и проективного градиента .

Программа Opti-K предоставляет возможность произвольного включения параметров в число оптимизируемых, в ней автоматически корректируется начальный рельеф целевой функции, в процессе оптимизации можно создавать контрольные точки, что при решении больших задач позволяет проводить оптимизацию поэтапно.

Программа написана на алгоритмическом языке Delphi 3.0 и может функционировать как самостоятельная программная единица, так и в виде блока Unit, который может быть включен в любую другую программу на Delphi. Программа может функционировать в операционной среде MS Windows 95-98 (NT).

Программа Opti-K включает в себя общий блок “Unitopt” и два блока “Unitopt1” и “Uniopt2” с формами “Formopt1” и “Formopt2”. В первой форме определяются параметры оптимизации, а во второй выводятся текущие значения оптимизируемых параметров и информация о процессе оптимизации.

• Автором диссертации совместно с Кураевым А.А. разработан АУС метод оптимизации динамических процессов, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Автором диссертации получены формулы уточненного расчета производных от целевой функции по поисковым параметрам на основе сопоставления ошибок сокращения и усечения.

• Автором диссертации разработан метод разделения параметров для решения задач условной оптимизации на основе метода проективного градиента.