Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма

Линейчатые поверхности находят широкое применение при строительстве сооружений, а также при конструировании оболочек перекрытий промышленных и общественных зданий, в кораблестроении, авиационной промышленности и в автомобилестроении.

Линейчатой поверхностью с плоскостью параллелизма называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по двум направляющим. При этом образующая в любом положении сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости, которая называется плоскостью параллелизма.

В зависимости от формы и взаимного расположения направляющих различают следующие виды линейчатых поверхностей:

•  Цилиндроид – прямолинейная образующая движется по первой и второй направляющим, являющимися кривыми линиями, параллельно заданной плоскости.

•  Коноид – прямолинейная образующая движется по первой и второй направляющим, одна из которых прямая линия, а вторая – кривая линия, параллельно заданной плоскости.

•  Косая плоскость (гиперболический параболоид) – прямолинейная образующая движется по первой и второй направляющим, являющимися прямыми линиями, параллельно заданной плоскости.

Репер линейчатой поверхности с плоскостью параллелизма состоит из двух линий - направляющих и плоскости параллелизма. При моделировании линейчатых поверхностей на эпюре Монжа в качестве плоскости параллелизма обычно используют проецирующую плоскость или одну из плоскостей проекций.

Все линейчатые поверхности могут иметь каркас в виде прямолинейных образующих. При этом построение образующих, принадлежащих заданной поверхности, удобно начинать на той плоскости проекций, где плоскость параллелизма вырождается в прямую линию.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) Прямой цилиндроид

Прямым цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма. На чертеже (рис. 2.3.32) изображен цилиндроид, направляющими которого являются кривые m(m₁, m₂ ) и n(n₁, n₂), а плоскостью параллелизма - плоскость ( ₁) П₁. Р ис. 2.3.32

Все образующие этой поверхности пересекают кривые и m(m₁, m₂ ) и n(n₁, n₂) и параллельны плоскости ( ₁). Если плоскостью параллелизма цилиндроида является горизонтальная плоскость проекций П₁, то все образующие поверхности будут горизонталями. Через каждую точку поверхности проходит одна образующая. Геометрическая часть определителя цилиндроида состоит из двух направляющих кривых линий (m и n) и плоскости параллелизма ( ). Алгебраическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие кривые и параллельная плоскости параллелизма.

Прямой коноид

Прямым коноидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых - кривая, а вторая - прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма. Коноид, направляющими которого являются кривая m(m₁,m₂) и прямая n (n₁,n₂), а плоскостью параллелизма - плоскость ( ₁) П₁, изображен на рис. 2.3.33. Р ис. 2.3.33

Коноид называется дважды прямым, если его прямолинейная направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма. Через каждую точку поверхности проходит одна образующая. Геометрическая часть определителя коноида состоит из двух направляющих линий (прямой и кривой) и плоскости параллелизма. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие линии и параллельная плоскости параллелизма.

Р ис. 2.3.34 (анимационный)

Анимационный рис. 2.3.34 показывает формирование прямого коноида. Множество образующих этой поверхности находится при перемещении вспомогательной плоскости, которая в процессе движения параллельна некоторой плоскости параллелелизма. В каждый момент вспомогательная плоскость порождает образующую, как прямую пересечения этой плоскости с двумя направляющими, одна из которых прямая, другая - кривая.