2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

.

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо три особливі точки , та .

Точка не належить області інтегрування.

Особлива точка є усувною особливою точкою, оскільки при розкладі в ряд Лорана підінтегральної функції отримаємо ряд, який не має головної частини:

Лишок в усувній особливій точці завжди дорівнює 0.

Лишок в точці , яка є простим полюсом, має наступний вигляд:

.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ - 7y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

при умові .

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 22.

1. Знайти область збіжності ряду

.

1) Знайдемо радіус збіжності даного ряду:

2) Визначимо область збіжності ряду: .

Розглянемо поведінку ряду в граничних точках. При ми отримаємо знакозмінний ряд , який є умовно збіжним рядом Лейбніца:

• , - знаки членів ряду чергуються.

• , - модулі ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

• .

При отримаємо розбіжний ряд з додатними членами . Ряд є розбіжним за граничною ознакою порівняння з розбіжним гармонійним рядом : , тобто ряди та одночасно розбіжні.

Відповідь: , - область збіжності ряду.

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

. Маємо три особливі точки , та

Точка не належить області інтегрування.

Особлива точка є усувною особливою точкою. Лишок в усувній особливій точці завжди дорівнює 0.

Лишок в точці , яка є простим полюсом, має наступний вигляд:

.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 81y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже .

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 23.

1. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

Продовжимо дану функцію парним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад в ряд Фур’є по косинусах для даної функції має вид:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

Маємо одну особливу точку , дослідимо її характер:

Особлива точка є істотною особливою точкою, тому

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 4y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

. Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 24.

1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

Продовжимо дану функцію непарним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

Розклад в ряд Фур’є по синусах для даної функції має вид:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

Маємо одну особливу точку, яка є полюсом третього порядку . Знайдемо лишок в цій точці:

.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 24y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 25. У завданні 2 очевидно упущено змінну біля -6, в протилежному випадку інтеграл не береться.!!!