1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

, .

Продовжуємо задану функцію непарним чином та будуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

Розклад за синусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - маємо три особливі точки, яки є простими полюсами: , , . Будуємо область інтегрування:

.

Особлива точка не належить області інтегрування. Знаходимо лишки по точках та :

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 12y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 19.

1. Знайти область збіжності ряду

.

1) Знайдемо радіус збіжності даного функціонального ряду:

.

2) Оскільки радіус збіжності дорівнює , тоді визначимо межі області збіжності ряду: .

3) Розглянемо поведінку ряду на межах області:

При ми отримаємо знакозмінний ряд , дослідимо його на абсолютну чи умовну збіжність. Розглянемо ряд з модулів та порівняємо за граничною ознакою з рядом . Але спочатку необхідно з’ясувати поведінку ряду за інтегральною ознакою Коші:

, тобто ряд є розбіжним.

Перейдемо до граничної ознаки порівняння: , - отже порівнювані ряди одночасно розбіжні. З цього випливає, що ряд розбігається абсолютно, але за теоремою Лейбніца він є умовно збіжним:

• , - знаки членів ряду чергуються.

• , - модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

• .

При ми отримаємо знакододатний ряд , який є розбіжним рядом за граничною ознакою порівняння з розбіжним рядом .

Відповідь: , - область збіжності ряду.

4. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: . .

Маємо три особливі точки: , - полюс 2-го порядку, та прості полюса.

.

Будуємо область інтегрування:

Особливі точки та не належать області інтегрування.

Беремо лишок по точці :

Відповідь: .

5. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 18y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

. Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 20.

1. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

Продовжимо дану функцію парним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад в ряд Фур’є по косинусах для даної функції має вид:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

Маємо одну особливу точку , дослідимо її характер:

Особлива точка є істотною особливою точкою, тому

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 20y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 21.

1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію:

Продовжимо дану функцію непарним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

Розклад в ряд Фур’є по синусах для даної функції має вид:

, де .