2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: . Будуємо область інтегрування:

Даний інтеграл містить три особливі точки: , , . Причому точка є усувною особливою точкою, а лишок в усувній особливій точці завжди дорівнює 0. А точки та є простими полюсами.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 8y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже .

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 15.

1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

, .

Продовжимо функцію непарним чином та побудуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Сума ряду в точках розриву:

Коефіцієнти розкладу:

Розклад за синусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

.

Маємо три особливі точки: , , , які є простими полюсами. Але точка не належить області інтегрування. Знаходимо лишки по точках та :

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 4y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже .

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 16.

1. Знайти область збіжності ряду

.

Знайдемо радіус збіжності функціонального ряду:

.

Область збіжності: .

Перевіримо поведінку ряду на межах області.

При отримаємо знакозмінний числовий ряд , розглянемо для нього ряд з модулів: порівняємо його за граничною ознакою збіжності рядів зі збіжним рядом Діріхлє , де :

, отже ряди та одночасно збіжні, а з цього випливає, що ряд є абсолютно збіжним.

При отримаємо числовий ряд з додатними членами , який є збіжним з попередніх міркувань.

Відповідь: , - область збіжності функціонального ряду .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

, - будуємо область інтегрування:

Маємо одну особливу точку, яка є полюсом третього порядку . Знайдемо лишок в цій точці:

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 49y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 17.

1. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

, .

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад за косинусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

Область інтегрування:

Особлива точка . Дослідимо її характер:

Особлива точка є істотною особливою точкою, тому

.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ - 16y′ = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

при умові .

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 18. у прикладі 2 змінено знак, оскільки інакше він буде нерозв’язний!!!