1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

, .

Будуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Сума ряду в точках розриву: , .

Коефіцієнти розкладу:

Розклад за синусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: ;

.

Маємо дві особливі точки та , які є полюсами третього порядку.

Будуємо область інтегрування:

Особлива точка не належить області інтегрування. Лишок по точці має наступний вигляд:

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 16y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 7

1. Знайти область збіжності ряду

.

1) Знайдемо радіус збіжності даного ряду:

2) Визначимо область збіжності ряду: .

Розглянемо поведінку ряду в граничних точках. При ми отримаємо знакозмінний ряд , який є умовно збіжним рядом Лейбніца:

• , - знаки членів ряду чергуються.

• , - модулі ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

• .

При отримаємо розбіжний ряд з додатними членами . Ряд є розбіжним за граничною ознакою порівняння з розбіжним гармонійним рядом : , тобто ряди та одночасно розбіжні.

Відповідь: , - область збіжності ряду.

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

.

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо три особливі точки , , , які є простими полюсами. Особлива точка не належить області інтегрування. Лишки беремо по точкам та .

.

.

Відповідь: 0.

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 25y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже .

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 8.

1. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію:

Продовжимо дану функцію парним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад в ряд Фур’є по косинусах для даної функції має вид:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

Розв’язок:

Будуємо область дослідження:

Маємо три особливі точки , , , але особлива точка не належить області інтегрування.

Знайдемо лишки по точкам та які є простими полюсами.

,

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 36y = f(t); y(0) = y′(0) = 0

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 9.

1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

Продовжимо дану функцію непарним чином та побудуємо графік суми ряду:

Сума ряду в точках розриву: .

Коефіцієнти розкладу:

Розклад в ряд Фур’є по синусах для даної функції має вид:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо дві особливі точки та .

Особлива точка є усувною особливою точкою, оскільки при розкладі в ряд Лорана підінтегральної функції отримаємо ряд, який не має головної частини:

.

Лишок в усувній особливій точці завжди дорівнює 0.

Лишок в точці , яка є простим полюсом, має наступний вигляд:

.

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ - 4y′ = f(t); y(0) = y′(0) = 0

при умові .

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 10.

1. Знайти область збіжності ряду

.

1) Знайдемо радіус збіжності даного функціонального ряду:

.

2) Оскільки радіус збіжності дорівнює , тоді визначимо межі області збіжності ряду: .

3) Розглянемо поведінку ряду на межах області:

При ми отримаємо знакозмінний ряд , дослідимо його на абсолютну чи умовну збіжність. Розглянемо ряд з модулів та порівняємо за граничною ознакою з рядом . Але спочатку необхідно з’ясувати поведінку ряду за інтегральною ознакою Коші:

, тобто ряд є розбіжним.

Перейдемо до граничної ознаки порівняння: , - отже порівнювані ряди одночасно розбіжні. З цього випливає, що ряд розбігається абсолютно, але за теоремою Лейбніца він є умовно збіжним:

• , - знаки членів ряду чергуються.

• , - модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

• .

При ми отримаємо знакододатний ряд , який є розбіжним рядом за граничною ознакою порівняння з розбіжним рядом .

Відповідь: , - область збіжності ряду.