Білет № 1.

3. Знайти область збіжності ряду

.

1) Знайдемо радіус збіжності даного функціонального ряду:

.

2) Оскільки радіус збіжності дорівнює , тоді визначимо межі області збіжності ряду: .

3) Розглянемо поведінку ряду на межах області:

При ми отримаємо знакозмінний ряд , дослідимо його на абсолютну чи умовну збіжність. Розглянемо ряд з модулів та порівняємо за граничною ознакою з рядом . Але спочатку необхідно з’ясувати поведінку ряду за інтегральною ознакою Коші:

, тобто ряд є розбіжним.

Перейдемо до граничної ознаки порівняння: , - отже порівнювані ряди одночасно розбіжні. З цього випливає, що ряд розбігається абсолютно, але за теоремою Лейбніца він є умовно збіжним:

• , - знаки членів ряду чергуються.

• , - модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

• .

При ми отримаємо знакододатний ряд , який є розбіжним рядом за граничною ознакою порівняння з розбіжним рядом .

Відповідь: , - область збіжності ряду.

4. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: ;

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо одну особливу точку яка є полюсом 6-го порядку:

Відповідь: .

5. Розв’язати задачу Коші

y′′ + y′ = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

при умові .

.

Отже .

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 2.

4. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

, .

Будуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад за косинусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де .

4. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: ;

Розв’язок:

Будуємо область дослідження:

Маємо три особливі точки , , , але особлива точка не належить області інтегрування.

Знайдемо лишки по точкам та які є простими полюсами.

,

Відповідь: .

4. Розв’язати задачу Коші

y′′ + y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 3

1. Розвинути в ряд Фур’є за синусами функцію

, .

Будуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Сума ряду в точках розриву:

Коефіцієнти розкладу:

Розклад за синусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

Будуємо область інтегрування:

Маємо дві особливі точки та , які є простими полюсами. Особлива точка не належить області інтегрування.

.

Відповідь:

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 4y = f(t); y(0) = y′(0) = 0

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 4.

1. Знайти область збіжності ряду

.

1. Знайдемо радіус збіжності даного ряду:

2. Визначимо область збіжності ряду: .

3. Розглянемо поведінку ряду в граничних точках. При ми отримаємо знакозмінний ряд , який є умовно збіжним рядом Лейбніца:

   • , - знаки членів ряду чергуються.

   • , - модулі ряду утворюють монотонно спадну послідовність.

   • .

4. При отримаємо розбіжний ряд з додатними членами . Ряд є розбіжним за граничною ознакою порівняння з розбіжним гармонійним рядом : , тобто ряди та одночасно розбіжні.

Відповідь: , - область збіжності ряду.

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо дві особливі точки та , але точка не належить області інтегрування.

Знайдемо лишок по точці , яка є полюсом 2-го порядку:

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ + 9y = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 5

1. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

, .

Будуємо графік суми ряду:

Дана функція є кусково неперервною та кусково диференційованою, тобто задовольняє умовам теореми Діріхлє.

Коефіцієнти розкладу:

.

Розклад за косинусами в ряд Фур’є має вигляд:

, де .

2. За допомогою лишків обчислити контурний інтеграл:

, якщо с: .

.

Будуємо область інтегрування:

Маємо дві особливі точки та , які є простими полюсами, але точка не належить області інтегрування. Тоді лишок по точці :

Відповідь: .

3. Розв’язати задачу Коші операційним методом

y′′ - y′ = f(t); y(0) = y′(0) = 0;

при умові .

.

Отже

Операторне рівняння має наступний вигляд:

За теоремою запізнення:

БІЛЕТ № 6