Билет 56)

Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в тригонометрической форме: , где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа.

Если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую, на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме  , то при его возведении в натуральную степень   справедлива формула:

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где  , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                  ,               

где  ,   – арифметический корень n-й степени из положительного числа  .

Билет 55)

Тригонометрической формой записи комплексного числа называют z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

1.1 Сложение.

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

.

2. Умножение.

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Формула Муавра для комплексных чисел   утверждает, что

для любого 

Билет 54)

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения: 

   z1 + z2 = z2 + z1

2. для любых      .

3. Ассоциативность сложения: 

   (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

4. для любых  .

5. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством 

   z + 0 = z

6. для любого z    .

7. Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁ + z = z₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z₂ – z₁.

8. Коммутативность умножения: 

   z1z2 = z2z1

9. для любых      .

10. Ассоциативность умножения:

    (z1z2)z3 = z1(z2z3)

11. для любых      .

12. Дистрибутивность сложения относительно умножения: 

    z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

13. для любых      .

14. Для любого комплексного числа z:

    z · 1 = z.

15. Для любых двух чисел   и   существует такое число z, что   Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается   Деление на 0 невозможно.

53

Ко́мпле́ксные — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Напр.: комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока.

Форма записи z=x+iy комплексных чисел называется декартовой. Она равносильна представлению комплексных чисел, как точек плоскости в декартовой системе координат, где числу z=x+iy соответствует точка М с координатами (x; y).

Такое представление комплексных чисел называется геометрической интерпретацией комплексных чисел, а плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа – комплексной плоскостью.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.

Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).

http://mathematics.uni-dubna.ru/matherials/arbuzova/ma/Lecture2-1.pdf

Билет 52

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

Билет 51)

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки  ,  Пусть  Пусть   — произвольное положительное число, тогда:   точка   при   или   при  :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).