22. Знаходження оберненої матриці через алгебраїчні доповнення та з допомогою елементарних перетворень.

Визначник або детермінант — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Для квадратної матриці розміру n*n визначник є многочленом степеня n від елементів матриці, і представляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, причому в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник — також число. Взагалі, визначник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці.

З точністю до знака, визначник матриці виражає коефіціент, на який множаться  -мірні об'єми під дією цієї матриці.

Визначення

Визначник матриці A задається формулою:

де   — перестановка множини   і   це знак (або парність) перестановки, тобто дорівнює 1 чи -1 залежно від парності числа інверсій 

Кількість доданків у сумі дорівнює   і номери рядка та стовпця елементів матриці, що входять у один добуток, не повторюються.

Матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, а в іншому випадку невиродженою.

Визначник 2×2 матриці

Щоб знайти визначник 2*2 матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

Визначник 3×3 матриці

Щоб знайти визначник   матриці, будуємо шість добутків наступним чином:

Для знаходження визначників високого порядку вистосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меншої кількості арифметичних операцій (O(n3) замість n!).

Властивості визначників

Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.

2. При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації кількох інших рядків визначник не зміниться.

3. Якщо помножити якийсь рядок на константу a, то визначник також помножиться на a.

4. У матриці з двома однаковими рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.

5. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.

6. Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.

7. Теорема Лапласа: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

8. Сума добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.

9.

10.

11.

В лінійній алгебрі доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у полі. А саме, якщо функція елементів матриці задовільняє 1,2,3, то така функція пропорціональна det.

23. Метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь.

Ме́тод Га́уса — алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Початок алгоритму. 

Прямий хід: Шляхом елементарних перетворень рядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду (квадратна матриця, в якій всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.).

З цього моменту починається зворотний хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.