17. Друга теорема Вейерштрасса.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.

18. Рівномірна неперервність на замкнутому інтервалі, теорема Кантора.

непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Равномерная непрерывность числовых функций

Основная статья: Непрерывная функция

Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если

Здесь важно, что выбор δ зависит только от величины .

Теорема Кантора

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.

Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

Противоположное утверждение:

1. Построение последовательностей.

Возьмем любую последовательность _n, которая монотонно убывает до нуля, т.е.

₁>₂>₃>…_n0, n

Тогда для каждого _n

Перебирая все _n мы получим две последовательности {x_n} и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей.

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена, т.к. a x_n b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , т.е. . Заметим, что c[a,b] в силу замкнутости [a,b]. А что можно сказать о подпоследовательности ? Т.к. , то .

Но так как а то по теореме “о двух милиционерах” отсюда следует, что также , т.е. подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

Переходя к пределу k и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

|f(c)-f(c)| 

т.е. получаем, что 0. Это противоречит квантору , где строго больше 0.