84. Теорема Безу, наслідок з неї.

Теорема Безу — теорема про остачу ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Остача від ділення многочлена   на двочлен   дорівнює  .

Наслідок :Число a є коренем многочлена    тоді й тільки тоді, коли   ділиться без остачі на двочлен  .

85. Кратні корені, розклад полінома на незвідні над полем комплексних чисел.

86. Розклад полінома з дійсними коефіцієнтами над полем комплексних чисел.

Теорема любой многочлен f (x) задан над полем С имеет хоть один комплексный корень.

Влатстивисть1: несводимых над полем С является многочлены 1-й ст. Доказательство: пусть Р (х) несводимый многочлен над полем С. будем считать, что степень его ≥ 1 согласно предыдущей теоремы Р (х) имеет хоть один комплексный корень. Поэтому Р (х) = (х-α) Р1 (х), где α-корень, принадлежащий С. Так как Р (х) несводимый, то Р1 (х) = с = const. Таким образом Р (х) = с (х-α) = сх.-сα.

Властивисть2: Любой многочлен f (x) над полем С может быть представлен в виде произведения простых множителей: f (x) = аn (x-α1) (x-α2) ... (x-αn), или, учитывая кратность корней :

f (x) =

где k1 + k2 + ... + km = n.

Доказательство: есть многочлен f (x) n-го века. Согласно теоремы он хоть один корень. Пусть это будет α1: f (x) = (x-α1) * f1 (x). f1 (x) также согласно теоремы маж хоть один комплексный корень: f1 (x) = (x-α2) * f2 (x). Аналогично для f2 (x) получим f (x) = (x-α1) (x-α2) (x-α3) f3 (x). Очевидно, что fn (x) = an. Таким образом, f (x) = аn (x-α1) (x-α2) ... (x-αn).

87. Обчислення інтегралу

Получить формулу 

Обозначим   (подстановка Эйлера).

Тогда

Отсюда

  

Стало быть

88. Інтегрування елементарних дробів 1, 2 та 3 типів.

Найдем интегралы от проcтeйшиx рациональных дробей.

1.   (формула (2) таблицы интегралов);

2.  (формула (1));

 3.  Рассмотрим интеграл 

Выделив в знаменателе полныйквадрат, получим:

причем   . Сделаем подстановку   Тогда   , dx=dt. Положим  . Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем

т. е., возвращаясь к переменной х,

89. Інтегрування елементарного дробу 4-го типу, рекурентна формула.

.   Вычисление интеграла вида 

Данный интеграл подстановкой сводится к сумме двух интегралов: 

Первый интеграл легко вычисляется:

Вычислимвторой интеграл:

К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим

тогда

Подставляя найденный интеграл в равенство (31. 8), получаем

т. е. 

Полученная формула дает возможность найти интеграл J_к для любого натурального числа k>1

90. Загальна формула інтегрування дробово-раціональної функції.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. ƒ(х) =   , где Р_m(х) - многочлен степени т, а Q_n(x) - многочлен степени n.

Рациональная дpобь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m<n; в противном случае (если т ип ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь  можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби ,

т. е.