82. Формули Ейлера, геометрична інтерпритація комплексного числа

перехід від алгебраїчної до тригонометричної форми і навпаки.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа  выполнено следующее равенство:

,

где   — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции   и   следующим образом:

,

.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть  , тогда:

,

.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при  .

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа:  .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень:  ,  . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа   в степень  его расстояние до центра возводится в степень  , а угол поворота относительно оси   увеличивается в   раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых  , но и для вещественных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени   имеет ровно   комплексных корней».

83. Корінь n-го степеня з комплексного числа.

Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.   Таким образом, равенство:

равносильно равенству

ⁿ(cos n + i sin n) = r (cos  + i sin )

  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

ⁿ = r,     n =  + 2k,

откуда

где   есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.   В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)

  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k₁ и k = k₂ тогда, когда аргументы   и   отличаются не кратным 2, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2.   Но разность (k₁ - k₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

не может быть кратна 2, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.   Пусть теперь k₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

k₂ = qn + k₁

где q - целое число и k₁ - любое число из ряда (17), а потому

,

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.   Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.