79. Формула інтегрування за частинами в невизначенному інтегралі.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

80. Заміна змінних в невизначенному інтегралі

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

81. Комплексні числа, операції над комплексними числами, алгебраїчна та тригонометрична форма комплексного числа.

Ко́мпле́ксні чи́сла (обидва варіанти наголосу вважаються нормою і кожен з них достатньо поширений серед математиків) — об'єкти, що утворюють поле, яке є розширенням поля дійсних чисел і позначається  . Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей асоціативності та комутативності додавання та множення, а також дистрибутивності множення відносно додавання.

Найбільш поширеним є запис комплексних чисел у вигляді виразів

,

де   — дійсні числа, причому   називається дійсною, а   - уявною частиною числа  ; ці частини позначаються відповідно   та  . Число   є протилежним до   у структурі даного поля і позначається  ; число   називається спряженим до   і позначається  . Символом  позначається уявна одиниця, для якої виконується рівність

.

Арифметичні дії та інші операції

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності  . Нехай   та   - комплексні числа. Тоді:

Геометричне представлення

З геометричною інтерпретацією тісно пов'язана так звана тригонометрична форма комплексного числа (на відміну від вище поданої форми  , яку називають алгебраїчною):  , де   і   - дійсні числа, причому   додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0, причому виявляється, що   (називається модулем числа  ) — це відстань між точкою   та початком координат, а кут   (називається аргументом числа  ) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком "мінус"). Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої можна користуватися такими формулами:

,

,

,

;

,

.

.