7. Теорема про існування границі монотонної обмеженої послідовності.

I. 1) Якщо послідовність монотонно зростаюча можливо в широкому сенсі і обмежена зверху, то вона має скінчену границю.

2)Якщо послідовність монотонно зростаюча можливо в широкому сенсі і необмежена зверху, то .

II 1) Якщо послідовність монотонно спадна і обмежена знизу, то існує скінчена границя .

2) Якщо послідовність монотонно спадна і необмежена знизу, то .

Доведення.

I 1) Дано послідовність, яка зростаюча і обмежена зверху. Отже існує , що для всіх виконується , то ми маємо множину і вона обмежена зверху, то для неї існує верхня точна грань , . З властивості випливає: якщо ми візьмемо трохи менше число ніж , то знайдене з послідовності більше за число, яке менше за , тобто . Тоді знайдеться (*). Але для всіх номерів маємо , тоді . З другого боку для будь-якого . Ми маємо : , . Тобто ,. Це означає, що є границею.

2) Послідовність зростаюча і необмежена зверху, тобто яке б ми не взяли (як завгодно велике), то знайдеться . Тепер використаємо зростання. Для всіх , . Це і означає, що .

II Доводиться аналогічно.

8. Число е як границя послідовності.

Р-рим числова послідовність із загальним членом xn = (1 +1 / n) ^ n (в ступені n) (1). Виявляється, що послідовність (1) монотонно зростає, обмежена зверху і сл-але є збіжною, межа цієї послідоності називається експонентою і позначається символом е2,7128...

Довети збіжність послідовності (1)

Для доказання введемо допоміжну ф-цію y = (1 + x) ^ 1 / x, x> 0 Ясно що при знач. x = 1,1 / 2,1 / 3, ..., 1 / n, ... значення ф-ції y збігається з відповідними ел-ми (1).

Доказом що ф-ція у монотонно спадає і обмеж. зверху => монотонне збільш. посл-ти (1) і обмеженість її зверху. Оскільки lg x є монотонно зрост., Але монотонне спадання. ф-ції у і її обмеженість зверху еквівалентні тому, що ф-ція lg y, яка дорівнює 1/хlg (1 + x) (2) має ті ж са-мі властивості, тобто 0 <x1 <x2, то тоді 1/x1lg(1+x1)>1/x2 lg(1+x2) (3). Обмеженість зверху  M:1/xlg(1+x)lgM x>0 (4). Візьмемо будь-яку лін. ф-цію виду y = kx яка перевершує lg (1 + x) при всіх x> 0.

tg1=(lg(1+x1))/x1 1>2=>tg1>tg2

tg2=(lg(1+x2))/x2

Оскільки 1>2, то tg1>tg2, а це рівносильно рівності (3). Оскільки y>lg(1+x) x>0 => kx>

>lg(1+x) x>0

Беручи до уваги ф-ції у с пос-ть xn приходимо до потрібного твердження. Число е є неминучим супутником динамічних процесів: майже завжди показники змінюються в часі характеризують такі процеси залежать від часу через експоніціальную ф-цію y = e ^ x і її модифікації.

9. Верхня та нижня границя послідовності означення теорема про їх характеризацію.

Верхня, нижня границі послідовності

Маємо числову послідовність { x _n } , нехай L  множина частинних границь цієї послідовності.

О.  Супремум множини частинних границь називається верхньою

границею послідовності { x _n } . Позначається

x _n sup L  .

Інфімум множини частинних границь називається нижньою границею послідовності { x _n }. Позначається

x _n inf L  .

Приклад 12.3.  Верхні, нижні границі послідовностей. Знайдемо верхню, нижню границі послідовностей із прикладів 12.1, 12.2. Для послідовності

{ x _n } = { 0, 1, 0, 1,   }

множина граничних точок L = { 0, 1 } , найбільша гранична точка рівна 1, тому

 x _n = sup { 0, 1 } = 1 ,

найменша гранична точка цієї послідовності є нуль, звідки

x _n = inf { 0, 1} = 0 .

Послідовності, які дають відповідно часткові границі 0 і 1 , є

{ x _2k - 1 } та { x _2k } .

Тому верхня границя послідовності { x _n } є границею підпослідовності { x _2k } 

x _n =  x _2k  = 1 ,

нижня границя цієї послідовності є границею підпослідовності { x _2k - 1 } 

x _n =  x _2k - 1  = 0 .

Для послідовності

{ ( -1 ) ⁿ }

множина граничних точок L = { -1 , 1 } , тому

z _n =  z _2k  = sup { -1, 1 } = 1 ,

z _n =  z _2k - 1  = inf { -1, 1 } = -1 .

Послідовність приклада 12.2

{ x _n } = { ( -1 ) ⁿn ,  }

має множину частинних границь L = { - ,  0 ,  +  } , тому

x _n = sup { - ,  0 ,  +  } = +   =  x _4k - 1  ,

x _n = inf { - ,  0 ,  +  } = -  =  x _4k - 3  .