72. Частинні похідні високого порядку, умови співпадіння змішаних похідних.

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или fxx'', а через или fxy''. Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные fxx'',fxy'',fyx'' и fyy'' называются частными производными второго порядка. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.

73. Необхідні умови локального екстремуму, геометричний зміст диференціалу.

Необходимое условие экстремума. Если во внутренней точке х области определения дифференцируемая функция   имеет экстремум, то  .

 Это условие не является достаточным. Так, функция   в точке   имеет нулевую производную, но не имеет экстремума. Экстремум может также реализоваться в точке, в которой производная не существует (пример - функция  , график справа). Введём термины, которые описывают точки, в которых может реализоваться экстремум функции  . 

 Опр.8.3.1. Точка   области определения функции   называется критической точкой первого рода этой функции, если: 1. в окрестности этой точки функция непрерывна; 2. в проколотой окрестности - дифференцируема; 3. в самой точке   (конечная) производная функции равна нулю или не существует.

Опр.8.3.2. Критическая точка первого рода функции  , в которой производная равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.

 Из изложенного следует, что внутренняя точка области  определения дифференцируемой (во всех точках  , за исключением, возможно, конечного их числа) функции может быть точкой локального экстремума тогда и только тогда, когда эта точка является критической точкой первого рода этой функции. Критичность точки есть необходимое, но недостаточное условие экстремума функции.

8.4. Достаточные условия экстремума функции.

 8.4.1. Первый достаточный признак экстремума (в критической точке, по знаку первой производной). Пусть точка   - критическая точка первого рода функции  , т.е. функция имеет производную в каждой точке некоторой проколотой окрестности   точки  , и пусть   сохраняет определённый знак как справа, так и слева от точки   (в отдельности). Тогда: если производная сохраняет знак при переходе через точку  , то экстремум в этой точке отсутствует; если производная меняет знак при переходе через точку  , то точка  - точка экстремума, при этом если  >0 при x< ,  <0 при x> , то   - точка максимума, если <0 при x< ,  >0 при x> , то   - точка минимума.

Дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению, которое получает ордината касательной к кривой y =f(x) с абсциссой в точке x₀ при переходе из точки касания в точку с абсциссой x₀+Δx.

 

74. Формула Тейлора для функції багатьох змінних.

Предположим, что в рассматриваемой области функция имеет все частные производные до порядка включительно. Рассмотрим прямую , соединяющую фиксированную внутреннюю точку с произвольной точкой и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего с , также принадлежат :

при

Рассмотрим ограничение функции на прямую (точнее, на её часть, лежащую в пределах области ) и параметризуем это ограничение параметром . Полоучим функцию одного переменного :

К функции можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке :

где -- некоторая точка отрезка между 0 и . Если , то также принадлежит отрезку . Отсюда при получаем

(9.1)

где .

Очевидно, что . Посмотрим, как производные

выражаются через частные производные функции .

Для нахождения воспользуемся формулой производной сложной функции:

При получаем

(9.2)

(9.3)

Вычислим теперь , для чего найдём :

Положив в этой формуле , получаем:

(9.4)

Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до , порядок частных производных функции , вычисленных в точке , а также количество сомножителей-биномов вида . Для третьей производной получаем

а для производной порядка --

(9.5)

Правая часть формулы (9.5) содержит слагаемых, в каждом из которых множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее

(9.6)

где .

Подставляя выражения (9.2), (9.4),..., (9.5), (9.6) в правую часть формулы (9.1), получаем в результате следующее утверждение:

Теорема 9.1 (Формула Тейлора для функции нескольких переменных) Пусть функция задана в области и имеет в все частные производные до порядка включительно. Пусть и -- две точки области , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в . Тогда для некоторой точки этого отрезка имеет место равенство

(9.6*)

(9.7)

Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции в точке , а эта последняя строка содержит остаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между и (он имеет порядок , в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше , если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу

содержащую лишь значения функции и её частных производных, вычисленные в точке (но не в других точках ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции в точках , близких к . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях , как правило, и .

При получается линейное приближение функции (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией , графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при к графику функции ):

При получается квадратичное приближение функции :

(9.8)

Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных .