69. Точки перегину, дослідження на екстремум за допомогою старших похідних.

66Исследование на экстремум при помощи старших производных.

Теорема 25.10. Если в точке х0 первая производная функции ƒ(х) равна нулю (ƒ'(х0)=0), а вторая производная в точке х0 существует и отлична от нуля (ƒ"(х0)¹ 0), то при ƒ"(х0)<0 в точке х0 функция имеет максимум и минимум — при ƒ"(х0)>0.

▲Пусть для определенности ƒ"(х0)>0. Так как

то в достаточно малой окрестности точки х0. Если ∆х<0,

то ƒ'(х0+∆х)<0; если ∆х>0, то ƒ'(х0+∆х)>0.

Таким образом, при переходе через точку x0 первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, х0 есть точка минимума.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х0)<0, то в точке х0 функция имеет максимум

70. Асимптоти функції, знаходження асимптот.

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, на клонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

, или

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х=а равно d=׀ х-а׀ . Если х→а, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая х=а является асимптотой кривой у=ƒ(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция ƒ (х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) х =-1, так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

y=kx+b. (25.5)

Найдем k и b.

Пусть М(х;у) — произвольная точка кривой у=ƒ(х) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой

находим расстояние от точки М до прямой (25.5):

Условие d→0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т.е.

Отсюда следует, что kx-у+b=α, где α=α(х) бесконечно малая: α→0 при х→ ∞ . Разделив обе части равенства у=b+kx-α на х и перейдя к пределу при х→ ∞ , получаем:

Так как b/х→0 и α/х→0, то

Из условия (25.6) находим b:

Итак, если существуетнаклонная асимптота у=kx+b, то k и b находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k=0, то b=limƒ(х) при х →∞ . Поэтому у=b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у=ƒ(х) при х→+ ∞ и х→- ∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и когда х→- ∞

71. Функції багатьох змінних, знаходження похідної по напрямку, градієнт.

Функцией п переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

— множество точек плоскости.

Примеры:

1) z = 2x-y,D =

2)

D : — круг радиусом 1 с центром в

т. О(0, 0) вместе с границей (рис. 11.1, а).

3)

Геометрическим изображением, т.е. графиком функции двух переменных, является поверхность в пространстве (в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ). Например, функция

имеет графиком полусферу радиусом 1 (рис. 11.2).

Для изучения характера функции двух переменных z = удобно рассматривать так называемые линии уровня с уравнением = с, с = const. Например, для линиями уровня являются = с, с = const — семейство концентрических окружностей (рис. 11.3).

Для функции трех переменных область определе-

ния D является множеством точек в пространстве, в частности некоторым телом в пространстве, но изобразить графически функцию трех переменных уже невозможно. Для изучения характера ее изменения рассматриваются поверхности уровня с уравнениями(х, у, z) = с, с = const.

Примеры:

1)— шар единичного радиуса с центром в т. О (О, О, 0).

2)Поверхности уровня с = const — семейство сфер с центром в т. О (0, 0, 0).

Изучать функции нескольких переменных удобно, рассматривая функции двух переменных z =(х, у) вследствие их геометрической наглядности. Получаемые при этом результаты могут быть обобщены на случай большего числа независимых переменных. Введем топологию в R2. Определения иллюстрируются рис. 11.4.

О: окрестностью т. называется совокуп-

ность всех точек М(х, у), лежащих внутри круга радиусом 5 с центром в т. — проколотая окрестность т.

О: Точка называется внутренней точкой множества

D, если

О: Множество D называется областью, если:

1°. Любая т. М D является его внутренней точкой (свойство открытости).

2°. Любые две точки множества D можно соединить ломаной линией, состоящей из точек множества D (свойство связности).

О: Граничными точками области D называются такие точки, в окрестности которых содержатся как точки, принадлежащие области D, так и точки, ей не принадлежащие. Множество всех граничных точек образует границу области Если к области присоединить ее границу, то полученное множество называется замкнутой областью Область D называется открытой областью.

О: Область D называется ограниченной, если для нее можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит

Область на рис. 11.1, а односвязная, а область на рис. 11.1, б не является односвязной.