Друга теорема Лопіталя та наслідок знеї.
Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 (кроме, может быть, точки х0). в этой окрестности
φ'(х)¹ 0. Если существует предел
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
.
Зафиксируем
t
из отрезка
и применим теорему Коши ко всем x
из отрезка
:
,
что можно привести к следующему виду:
Для
x,
достаточно близких к a,
выражение имеет смысл; предел первого
множителя правой части равен единице
(так как f(t)
и g(t)
— константы, а f(x)
и g(x)
стремятся к бесконечности). Значит, этот
множитель равен 1 + β,
где β
— бесконечно малая функция при стремлении
x
к a
справа. Выпишем определение этого факта,
используя то же значение
, что и в определении для α:
.
Получили,
что отношение функций представимо в
виде (1 + β)(A
+ α),
и . По любому данному
можно найти такое
, чтобы модуль разности отношения функций
и A
был меньше
, значит, предел отношения функций
действительно равен A.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
В
определении β
будем брать
;
первый множитель правой части будет
больше 1/2 при x,
достаточно близких к a,
а тогда
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Дослідження функції на випуклість.
График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.
На рисунке 154 кривая у=ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 25.11. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 " xє(а;b) — график выпуклый вниз.
▲Пусть ƒ"(х)<0 " xє(а;b). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой х0є(а;b) и проведем через М касательную (см. рис. 155).
Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке хє(а; b) ординату у кривой у=ƒ(х) с ординатой укас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть
Укас-ƒ(х0)=ƒ'(х0)(х-х0), т.е. Укас=ƒ(х0)+f(x0)(x-х0).
Тогда у-укас=ƒ(х)-ƒ(х0)-ƒ'(х0)(х-х0). По теореме Лагранжа, ƒ(х)-ƒ(х0)=ƒ'(с)(х-x0), где с лежит между х0 и х. Поэтому
У-Укас=ƒ'(с)(х-х0)-ƒ'(х0)(х-х0),
т. е.
У-Укас=(ƒ'(с)-ƒ'(х0))(х-х0).
Разность ƒ'(с)-ƒ'(х0) снова преобразуем по формуле Лагранжа:
ƒ'(с)-ƒ'(х0)=ƒ"(с1)(с-х0),
где с1 лежит между х0 и с. Таким образом, получаем
У-Укас=f"(c1)(c-х0)(х-х0).
Исследуем это равенство:
1) если х>х0, то х-х0>0, с-х0>0 и f"(c1)<0. Следовательно, У-Укас<0, т. е. у<укас:
2) если х<х0, то х-х0<0, с-х0<0 и f"(c1)<0. Следовательно, У-Укас<0, т. е. у<укас:
Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при ƒ"(х)>0 график выпуклый вниз. ▼
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.
Пусть ƒ"(х)<0 при х<х0 и ƒ"(х)>0 при х>х0. Это значит, что слева от х=х0 график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (х0;ƒ(х0)) графика функции является точкой перегиба.
Аналогично доказывается, что если ƒ"(х)>0 при х<x0 и ƒ"(х)<0 при х>х0, то точка (х0;ƒ(х0)) — точка перегиба графика функции у=ƒ(х).