Необхідна та достатня умова монотонності функції.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для " x є (a;b).
Пусть функция ƒ(х) возрастает на интервале (α;b). Возьмем произвольные точки х и х+∆х на интервале (α;b) и рассмотрим отношение
Функция ƒ(х) возрастает, поэтому если ∆х>0, то х+∆х>х и ƒ(х+∆х)>ƒ(х); если ∆х<0, то х+∆х<х и ƒ(х+∆х)<ƒ(х). В обоих случаях
так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.
По условию теоремы функция ƒ(х) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
Аналогично рассматривается случай, когда функция ƒ (х) убывает на интервале (a;b).
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой х0) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для " x є (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).
Пусть ƒ'(х)>0. Возьмем точки х1 и х2 из интервала (a;b), причем x1<х2. Применим к отрезку [x1;x2] теорему Лагранжа: ƒ(х2)- ƒ(x1)=ƒ'(с)(х2-x1), где с є (x1;x2). По условию ƒ'(с)>0, х2-х1>0. Следовательно, ƒ(х2)-ƒ(х1)>0 или ƒ(х2)>ƒ(х1), т. е. функция ƒ(х) на интервале (a;b) возрастает.
Формула Тейлора для многочлена, формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано.
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Формула
Тейлора — Пеано Пусть
, z0
— предельная точка множества Df
и
. Если функция f
n-дифференцируема
в смысле Ферма — Лагранжа в точке z0,
то справедлива формула Тейлора — Пеано
где εn(z) - непрерывная в точке z0 функция и εn(z0)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при εn (z)=f(z)-f(z0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0 функция φ, что ∀z∈Df,
По предположению
где
- непрерывная в точке z0
функция и
. Из
равенств (2) и (3) получаем:
Что
равносильно формуле (1) при
Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
Перша теорема Лопіталя, наслідок з неї.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0).
Пусть функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 и обращаются в нуль в этой точке: ƒ(х0)=φ(х0)=0. Пусть φ'(х)¹ 0 в окрестности точки х0. Если существует предел
▲Применим к функциям ƒ(х) и φ(х) теорему Коши для отрезка [х0;х], лежащего в окрестности точки x0 . Тогда
где с лежит между х0 и х (рис. 144). Учитывая, что ƒ(х0)=φ(х0)=0, получаем
При х→х0, величина с также стремится к х0; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:
Так как
Поэтому
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания :
1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции ƒ(х) и φ(х) не определены при х=х0, но
Достаточно положить
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х→∞. Действительно, положив х=1/z, получим
3. Если производные ƒ'(х) и φ'(х) удовлетворяют тем же условиям, что и функции ƒ(х) и φ(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:
