56. Похідні вищого порядку функцій заданих явно неявно та параметрично.

1)Функции, заданные явно:

Производной n-го порядка функции   называется производная от производной (n-1)-го порядка этой функции.

.

2)Функции заданные неявно:

.

3)Функции, заданные параметрически.

. 

57. Формула Лейбніца.

Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математикаГотфрида Лейбница.

[править]Формулировка

Пусть функция   непрерывна вместе со своей первой производной   на прямоугольнике  (отрезок   включает в себя множества значений  ), a функции   дифференцируемы на  . Тогда интеграл   дифференцируем по   на   и справедливо равенство

58. Диференціал вищого порядку.

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по    следует рассматривать как постоянный множитель.

59. Теорема Ферма, Ролля та Лагранжа.

Теорема. Пусть  , непрерывна во всех точках этого промежутка. Тогда множество значений функции   – замкнутый ограниченный промежуток.

В частности, у функции   есть наибольшее и наименьшее значения.

Теорема (Ролль). Пусть  . Предположим, что

1) функция   непрерывна на  ;

2) функция   дифференцируема во всех внутренних точках  ;

3)  .

Тогда существует точка  , в которой  .

Доказательство. По предыдущей теореме, функция   принимает на   наибольшее и наименьшее значения. Пусть она достигает наибольшего и наименьшего значения в точках  и   соответственно. Если   и   – концы отрезка  , то, поскольку  , наибольшее и наименьшее значения функции   совпадают. Значит, функция   постоянна, и производная ее во всех внутренних точках   равна нулю. Значит, в качестве   можно взять любую внутреннюю точку  . Пусть хотя бы одно из чисел   лежит внутри отрезка  . Тогда по теореме Ферма получаем, что производная функции   в этой точке равна нулю.

Теорема (Лагранж). Пусть   и выполняются условия:

1) функция   непрерывна на  ;

2)   дифференцируема на  .

Тогда существует  :

Доказательство. Пусть  . Рассмотрим функцию  :

Из условия теоремы ясно, что функция   непрерывна на   и дифференцируема на  . Подберем   и   так, чтобы

Функция   удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда существует  :  .

Теорема Ферма:

Для любого натурального числа   уравнение

не имеет натуральных решений  ,   и  .

60. Теорема Коші.

Для любой функции  , аналитической в некоторой односвязной области   и для любой замкнутой кривой  справедливо соотношение 

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма   замкнута. Пусть теперь  — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции  , ограничивающий область  . Тогда по теореме Стокса имеем: