52. Рівняння дотичної та нормалі, піддотична та піднормаль.

Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:

Значення   та   відповідають значенню  :

Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:

.

В точці   маємо 

піддотична та під нормаль - напрямлені відрізки АТ і АN, які є ортогональними проекціями на вісь ОХ відрізків дотичної прямої МТ і нормалі МN до плоскої кривої в її точці М (мал.). Якщо рівняння кривої у = f (х), то довжини П. й п. дорівнюють відповідно АТ = — f(а)/f' (а), АN = f (а) f' (а), де а — абсциса точки М.

53. Похідна складної функції, похідна функції заданої неявно.

Якщо залежність між x та y задана в неявній формі , причому надалі будемо вважати, що диференційовна функція, то для знаходження похідної y’ достатньо:

а) знайти похідну по від лівої частини рівняння , враховуючи, що y є функцією x ;

б) прирівняти цю похідну до нуля ;

в) розв’язати отримане рівняння відносно y’.

Зауваження. Якщо неявно задана функція не задана у вигляді , а має ліву і праву частину, можна не зводити до попереднього вигляду, а брати похідну від лівої і правої частини, враховуючи, що y є функцією x (як складна), а потім розв’язати рівняння з одним невідомим y’(x).

Приклад 1. ;

; .

Приклад 2.

;

2."Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции .

Решение.

Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

54. Логарифмічне диференціювання, похідна функції заданої параметрично.

Если требуется найти y’ из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где ln y есть сложная функция от х,

.

в) заменить y его выражением через х

.

55. Диференціал, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.

Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.

Випадок однієї змінної

Нехай в околиці точки   задана функція  .

нехай існує таке  , що   при  .

Позначим  .

Тоді функція   називається диференціалом функції   в точці  .

[ред.]Випадок багатьох змінних

Нехай в околі точки   задана функція багатьох змінних  .

Нехай існує такий вектор  , що   при  , де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначим  .

Тоді функція   називатиметься диференціалом функції   в точці  .

[ред.]Відображення між евклідовими просторами

Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rn → Rm. Нехай x,Δx ∈ Rn — два вектори в просторі Rn. Зміна значення функції ƒ при зміні аргумента на Δx рівна:

Якщо існує m × n матриця A для якої

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rn вектор AΔx ∈ Rm називається диференціалом dƒ(x) відображення ƒ в точці x.

[ред.]Відображення між многовидами

Диференціал в точці   гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид   визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках   і   тобто   таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції   виконується рівність: