Похідна функції в точці означення основні властивості.
Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).
Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.
Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.
Запам’ятайте!
- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;
|
- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку nі xn-1);
- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;
- Похідна функції у = √x для додатнихх дорівнює 1/(2√x);
- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;
- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;
- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;
- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;
- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;
- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;
- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ lnа);
- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .
Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.
Геометричний та механічний зміст похідної.
51. Геометрический и физический смысл производной
Тангенс угла наклона касательной прямой
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Основная статья: Касательная прямая
Если
функция
имеет конечную производную в точке x0,
то в окрестности U(x0) её можно приблизить
линейной функцией
Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число f'(x0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость изменения функции
Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.
Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).