- •Множини, операції над множинами, приклади.
- •Формула бінома ( метод матиматичної індукції ).
- •Границя послідовності означення, приклади, єдиність.
- •Основні властивості границі послідовності ( суми, різниці, добутку, частки ).
- •Теореми про обмеженість збіжної послідовності, про перехід до границі в нерівності.
- •Теорема про три послідовності.
- •Теорема про існування границі монотонної обмеженої послідовності.
- •Число е як границя послідовності.
- •Верхня та нижня границя послідовності означення теорема про їх характеризацію.
- •Фундаментальність послідовності, довести фундаментальність збіжної послідовності, критерій Коші.
- •Означення границі функції в точці по Коші та по Гейне.
- •Односторонні границі функції, елементарні властивості цих границь.
- •Нескінчено малі та великі величини їх зв’язок, порівняння нескінчено малих та великих величин.
- •Границя функції коли X0.
- •Неперервність функції в точці, неперевність суми, різниці, добутку та частки двох функцій.
- •Перша теорема Вейерщтрасса.
- •Друга теорема Вейерштрасса.
- •Рівномірна неперервність на замкнутому інтервалі, теорема Кантора.
- •Розриви функції, приклади.
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Умножение матрицы на число
- •Сложение матриц
- •Умножение матриц
- •Визначник означення та обчислення, властивості визначника.
- •Знаходження оберненої матриці через алгебраїчні доповнення та з допомогою елементарних перетворень.
- •Метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Описание метода
- •2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. ]Условие совместности
- •Достоинства метода
- •Матричний метод розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Евклідовий n-мірний простір, операції над векторами, скалярний добуток.
- •Поняття лінійної залежності та незалежності векторів, базис.
- •1) Необхідність
- •2) Достатність
- •1) Необхідність
- •Лінійний оператор, властивості лінійних операторів, представлення лінійного оператора в n-мірному просторі.
- •Матриця переходу від одного базису до іншого, запис матриці оператора в новому базисі.
- •Перехід від одного базису до іншого
- •Наприклад
- •[Ред.]Деталі
- •Рядковий та стовпчиковий ранг матриці, ранг мариці.
- •Розв’язність системи лінійних однорідних рівнянь, представлення загального розв’язку .
- •1)Загальні поняття системи лінійних рівнянь.
- •2) Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •3) Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних рівнянь.
- •4) Фундаментальні розв’язки однорідної системи лінійних рівнянь.
- •Теорема Кронекера-Капеллі, представлення загального розв’язку.
- •Следствия
- •Власні значення та власні вектори лінійного оператора їх знаходження.
- •Квадратичні та білінійні форми приведення їх до канонічного вигляду.
- •Скалярний та векторний добуток векторів їх застосування.
- •Векторний добуток
- •Змішаний добуток векторів та його застосування.
- •Загальне рівняння прямої на площині вивід зміст коефіцієнтів.
- •Нормальне рівняння прямої знаходження відстані від точки до прямої.
- •Загальне рівняння площини вивід його, зміст коефіцієнтів.
- •Рівняння площини що проходить через три точки, через точку та два вектора.
- •Рівняння площини в відрізках на осях, та нормальне рівняння площини.
- •Рівняння прямої у просторі як перетин площин, канонічне рівняння прямої.
- •Взаємне розміщення прямої та площини у просторі.
- •Криві другого порядку вивід рівняння еліпса, основні параметри еліпса.
- •Гіпербола вивід канонічного рівняння, основні параметри.
- •Парабола вивід канонічного рівняння, параметри.
- •Приведення до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку.
- •Поверхні другого порядку основні типи поверхонь.
- •Похідна функції в точці означення основні властивості.
- •Геометричний та механічний зміст похідної.
- •Рівняння дотичної та нормалі, піддотична та піднормаль.
- •Похідна складної функції, похідна функції заданої неявно.
- •Логарифмічне диференціювання, похідна функції заданої параметрично.
- •Диференціал, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •Похідні вищого порядку функцій заданих явно неявно та параметрично.
- •Формула Лейбніца.
- •Диференціал вищого порядку.
- •Теорема Ферма, Ролля та Лагранжа.
- •Теорема Коші.
- •Необхідна та достатня умова монотонності функції.
- •Формула Тейлора для многочлена, формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано.
- •Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
- •Перша теорема Лопіталя, наслідок з неї.
- •Друга теорема Лопіталя та наслідок знеї.
- •Дослідження функції на випуклість.
- •Локальний екстремум дослідження.
- •Точки перегину, дослідження на екстремум за допомогою старших похідних.
- •Асимптоти функції, знаходження асимптот.
- •Функції багатьох змінних, знаходження похідної по напрямку, градієнт.
- •Частинні похідні високого порядку, умови співпадіння змішаних похідних.
- •Необхідні умови локального екстремуму, геометричний зміст диференціалу.
- •Формула Тейлора для функції багатьох змінних.
- •Достатні умови екстремуму для функції двох змінних.
- •Умовний екстремум функція Лагранжа.
- •Знаходження максимального та мінімального значення в області.
- •Первісна функції означення основні властивості.
- •Формула інтегрування за частинами в невизначенному інтегралі.
- •Заміна змінних в невизначенному інтегралі
- •Комплексні числа, операції над комплексними числами, алгебраїчна та тригонометрична форма комплексного числа.
- •Геометричне представлення
- •Формули Ейлера, геометрична інтерпритація комплексного числа
- •Корінь n-го степеня з комплексного числа.
- •Теорема Безу, наслідок з неї.
- •Кратні корені, розклад полінома на незвідні над полем комплексних чисел.
- •Обчислення інтегралу
- •Інтегрування елементарних дробів 1, 2 та 3 типів.
- •Інтегрування елементарного дробу 4-го типу, рекурентна формула.
- •Загальна формула інтегрування дробово-раціональної функції.
- •Метод Остроградського інтегрування дробово-раціональної функції.
- •Обчислення інтегралу .
- •Інтегрування диференціального біному.
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу
Гіпербола вивід канонічного рівняння, основні параметри.
Гіпербола – множина точок площини ,для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок площини ,які називаються фокусами ,є сталою величиною,що менша за відстань між фокусами.
Позначимо через : М – точку гіперболи; F1 та F2 – фокуси гіперболи, r1 = [F1M] та r2 = [F2M] – фокальні радіуси ; [F1F2] = 2c – відстань між фокусами; [r1-r2]= 2a – модуль різниці відстаней від точки гіперболи до фокусів (a < c ); A та A’ –вершини гіперболи; d – відстань від точки M до директриси; ε –ексцентриситет; b = sqr(c2-a2) – піввісь гіперболи .
Директриса x = +-a/ ε
Асимптоти y = +-bx/a
Канонічне рівняння :
x2/a2 – y2/b2= 1
Парабола вивід канонічного рівняння, параметри.
Парабола – множина точок площини , відстані від яких до фокуса і директриси рівні.
На площині ,де задано параболу , виберемо таку декартову прямокутну систему координат,щоб вісь абсцис булла перпендикулярна до директриси , проходила через фокус і буллу направлена від директриси до фокуса , а початок координат О ділив відстань р від директриси до фокуса навпіл.
В цій системі координат рівняння параболи має вигляд y2 = 2px., а вісь абсцис буде віссю симетрії параболи.
Фокальний радіус визначається формулою r = x + p/2
Ексцентриситет = r/d =1
Приведення до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку.
Одразу слід зазначити, що приведення до канонічного виду в найзагальнішому випадку пов'язане з поворотом системи координат, що потребують залучення достатньо великої кількості додаткових відомостей. Поворот системи координат може знадобитися, якщо коефіцієнт В відмінний від нуля.
Існують три типи кривих другого порядку: еліпс, гіпербола і парабола. Канонічне рівняння еліпса: (x ^ 2)/(a ??^ 2) + (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1. Канонічне рівняння гіперболи: (x ^ 2)/(a ??^ 2) - (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1. Тут а і b півосі еліпса і гіперболи. Канонічне рівняння параболи 2px = y ^ 2 (p - просто її параметр). Процедура приведення до канонічного виду (при коефіцієнті В = 0) гранично проста. Проводяться тотожні перетворення з метою виділення повних квадратів, якщо потрібно - поділ обох частин рівняння на число. Таким чином, рішення зводиться до приведення рівняння до канонічного вигляду і з'ясування типу кривої.
Поверхні другого порядку основні типи поверхонь.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11x^2 + a22y^2 + a33z^2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.
Типы поверхностей второго порядка
Цилиндрические поверхности
Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.
Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.