3. Границя послідовності означення, приклади, єдиність.

. В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Определение

Пусть дано топологическое пространство T и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что ,где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности xn. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что , где d(x,y) — метрика, то x называется пределом xn.

Примеры

Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

4. Основні властивості границі послідовності ( суми, різниці, добутку, частки ).

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

5. Теореми про обмеженість збіжної послідовності, про перехід до границі в нерівності.

Кожна збіжна послідовність обмежена.

Доведення.

З умови теореми випливає, що послідовність x_n збіжна, тобто існує границя. Отже, для ε>1 знайдеться таке n_o, що для довільного n>n_o

|x_n-a|<1.

Тому |x_n| = |(x_n-a)+а| ≤ |x_n-a|+|a| < |a|+1.

Візьмемо найбільше з чисел

і позначимо через k. Тоді для довільного n маємо: , а це означає обмеженість розглядуваної послідовності.

Теорему доведено.

Пусть и ; ,Тогда Док-во:  предложим противное: > < ;по определению пределов:

(*) <

(**) <

будут выполнены (*) и (**)

< < < < ;т.е

< ,что противоречит условию значит < не верно,а -верно(утверждение теоремы);

если в условии теоремы записать,что < ; то

<  

>

=

6. Теорема про три послідовності.

Нехай задані 3 послідовності задовольняють умови:

1) існує - число,

2) існує , що для будь-якого .

Тоді існує .

Доведення. Нехай зафіксовано . Тоді, за означенням, існують такі n₀',n₀'', що для всіх , а для всіх .

Позначимо через n₀ найбільший з номерів n₀',n₀''. Тоді для всіх , тоді оскільки , то , а це означає, що .