39. Нормальне рівняння прямої знаходження відстані від точки до прямої.

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если   - полярный угол нормали, р - длина отрезка   (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка  ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением   точки   от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой,  =0). Если даны координаты  ,   точки   и нормальное уравнение прямой  , то отклонение   точки  от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки   от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки  . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль:  .

Если дано общее уравнение прямой  , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель  , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

40. Загальне рівняння площини вивід його, зміст коефіцієнтів.

Стандартное уравнение плоскости -

Ax + By + Cz + D = 0

Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.

Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) можно получить из следующих опрееделителей:

Раскрывая, получаем

A = y1 (z2 - z3) + y2 (z3 - z1) + y3 (z1 - z2) 

B = z1 (x2 - x3) + z2 (x3 - x1) + z3 (x1 - x2) 

C = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2) 

- D = x1 (y2 z3 - y3 z2) + x2 (y3 z1 - y1 z3) + x3 (y1 z2 - y2 z1)

Следует заметить, что, если все точки лежат на одной прямой, то (A,B,C) будет (0,0,0).

Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны по отношению к плоскости находится точка (x,y,z). Если s > 0, то точка лежит в той стороне, куда указывает нормальный вектор (A,B,C). Если s < 0 - на противаположной стороне, а в случае s = 0 точка принадлежит плоскости.

41. Рівняння площини що проходить через три точки, через точку та два вектора.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

42. Рівняння площини в відрізках на осях, та нормальне рівняння площини.

Уравнение плоскости в отрезках:

Где , , — отрезки, отсекаемые П. на осях и .

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).