35. Скалярний та векторний добуток векторів їх застосування.

Означення:

Скалярним добутком двох векторів та називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначається або ( , ). ( , )=| | | | cos

Властивості:

1. ( , )=( , )

2. ( , )=| |

3. ( + , )= ( , )+( , )

( + , )=| | = | |( + ) = | |( + ) =

= | | + | | = ( , )+( , )

4. ( , )= ( , )

5. ( , ) = 0, коли

6. |a|=

7. cos( , ) =

Скалярний добуток у координатах:

(

(

( , ) = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃

Наслідок:

Відстань між точками M(x₁,y₁,z₁) та N(x₂,y₂,z₂) рахується за формулою:

MN=

Векторний добуток

Означення:

Векторним добутком векторів та називається вектор =[ , ], який:

1. Напрямлений перпендикулярно до площини векторів та .

2. Довжина дорівнює площі паралелограма, що утворений векторами та .

3. Вектори , , утворюють праву трійку, тобто якщо великий палець направити за , а вказівний – за , то середній палець вкаже на напрямок вектора .

Властивості:

1. [ , ]= - [ , ]. Наслідок [ , ] = .

2. [ + , ] = [ , ] + [ , ].

3. [ , ] = [ , ].

4. Тотожність Якобі:

[[ , ], ]+[[ , ], ]+[[ , ], ]=0.

5. Вектори та колінеарні тоді і тільки тоді, коли [ , ]=0.

Лема.

1. Векторний добуток [ , ] дорівнює векторному добутку проекції і вектора на площину , яка перпендикулядрна до .

2. Щоб отримати вектор [ , ], треба проекцію вектора повернути за годинниковою стрілкою на 90 (відносно ) та помножити на .

Векторний добуток у координатах

Нехай =

=

При цьому утворюють праву трійку. Звідси

, , .

Крім того, [ , ]=[ , ]=[ , ]= .

Отже, [ , ] = = ( * - * )- ( * - * )+ ( * - * ).

36. Змішаний добуток векторів та його застосування.

Означення:

Мішаним добутком векторів a, b ,c називається число рівне скалярному добутку вектора a на вектор, рівний векторному добутку векторів b i c.

Позначається :

(

Властивості:

1)Мішаний добуток дорівнює нулюколи :

А) хоч один з векторів дорівнює нулю.

Б) два з векторів колінеарні.

В) вектори компланарні.

2.

3.

4.

Геометричний зміст:

Мішаний добуток векторів a, b ,c об’єму паралелепіпеда побудованого за векторами a, b ,c , взятого зі знаком «+» , якщо a, b ,c – права трійка і зі знаком «-», якщо a, b ,c – ліва трійка.

(

дорівнює висоті паралелепіпеда у випадку правої трійки і висоті зі знаком «-» у випадку лівої тріки.

- площа основи паралелепіпеда.

Мішаний добуток в координатах:

Нехай , ,

Очевидно, що ( =

37. Загальне рівняння прямої на площині вивід зміст коефіцієнтів.

38. Рівняння прямої у відрізках на осях та з кутовим коефіцієнтом знаходження кута між прямими, умова перпендикулярності.

Нехай пряма проходить через точку M1(x1,y1) паралельно (m,n) ( називається направляючим вектором).

Нехай M(x,y) - точка прямої. Тоді колінеарний і, отже, або x-x1=tm,

y-y1=tn, звідки

― параметричне рівняння прямої на площині

― канонічне рівняння прямої на площині *m,n ― координати направляючого вектора*

При m=0 рівняння задає пряму x=x1, при n=0 ― пряму y=y1.

― загальне рівняння прямої на площині *A,B ― координати нормалі до прямої*

― рівняння прямої у відрізках

― прямої рівняння з коефіцієнтом кутовим

де

Прямі паралельні

Прямі перпендикулярні

Рівняння прямої що проходить через 2 точки

Нехай є 2 точки M1(x1,y1) та M2(x2,y2). Вектор паралельний до прямої і, отже, його можна взяти у якості направляючого, отже рівняння прямої буде виглядати так: